वर्गों की गिनती करके क्षेत्रफल निकालना

गणित में, क्षेत्रफल एक बंद आकृति के भीतर का स्थान होता है। यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, विशेष रूप से मापन में। जब आप अपने कमरे के फर्श, एक फ़ुटबॉल मैदान, या जमीन का एक टुकड़ा सोचते हैं, तो आप जिस चीज़ पर विचार कर रहे होते हैं वह क्षेत्रफल है। विभिन्न आकृतियों का क्षेत्रफल कैसे निकाला जाए, इसे समझना एक आवश्यक कौशल है। कक्षा 3 में, छात्र क्षेत्रफल निकालने का एक सरल तरीका सीखते हैं: वर्गों की गिनती।

क्षेत्र को समझना

क्षेत्र को एक आकृति द्वारा घिरी हुई "जगह" के रूप में समझा जा सकता है। कल्पना करें कि एक फ्लैट वस्तु मेज पर रखी गई है। मेज की सतह जो वस्तु द्वारा ढकी जाती है, वह इसका क्षेत्रफल होता है। हम आमतौर पर क्षेत्रफल को वर्ग इकाइयों का उपयोग करके मापते हैं। एक वर्ग इकाई बस एक वर्ग होता है जिसकी प्रत्येक भुजा 1 इकाई लंबी होती है। इस पर निर्भर करते हुए कि आप क्या माप रहे हैं, इकाई सेंटीमीटर, मीटर, इंच, फुट आदि हो सकती है।

वर्ग गणना विधि

किसी आकृति का क्षेत्रफल खोजने का सबसे आसान तरीका, विशेष रूप से छोटे शिक्षार्थियों के लिए, यह है कि यह कितनी वर्ग इकाइयाँ होती हैं, इसकी गिनती करें। यह विधि विशेष रूप से ग्रिड पर खींचे गए आयताकारों और वर्गों के क्षेत्रों की गणना के लिए उपयोगी होती है।

उदाहरण: वर्ग

आइए एक साधारण वर्ग का क्षेत्रफल निकालना शुरू करें। नीचे दिए हुए ग्रिड पर दिए गए वर्ग को देखें:

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___________________ | | | | | | |---+---+---+---+---| | | | | | | |---+---+---+---+---| | | | | | # | |---+---+---+---+---| | | | | | # | |---+---+---+---+---| | # | # | # | # | # | |___|___|___|___|___|

ऊपर दिया गया वर्ग 1 इकाई में 1 इकाई के क्षेत्रफल वाले छोटे वर्गों से भरा है। यदि हम छोटे वर्गों की गिनती करते हैं, तो हमें पता चलता है कि यह 5 द्वारा 5 ग्रिड है। इसलिए हमारे पास कुल 25 (क्योंकि वहाँ 5 पंक्तियों में 5 वर्ग होते हैं) छोटे वर्ग होते हैं। इस प्रकार, इस वर्ग का क्षेत्रफल 25 वर्ग इकाइयाँ है।

उदाहरण: आयत

आइए एक और उदाहरण एक आयत के साथ लें:

___________________ | | | | | | |---+---+---+---+---| | | | | | | |---+---+---+---+---| | | | | | | |---+---+---+---+---| | # | # | # | # | # | |---+---+---+---+---| | # | # | # | # | # | |---+---+---+---+---|
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यह आयत 5 इकाई चौड़ा और 2 इकाई ऊँचा है। क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए, हम फिर से छोटे वर्गों की गिनती करेंगे। यदि हम प्रत्येक पंक्ति को देखें, तो वहाँ 5 वर्ग होते हैं। हमारे पास ऐसी दो पंक्तियाँ होती हैं। इसलिए कुल संख्या छोटे वर्गों की 10 (प्रति पंक्ति 5 वर्ग गुणा 2 पंक्ति) होती हैं। इस प्रकार, इस आयत का क्षेत्रफल 10 वर्ग इकाइयाँ है।

आयताकार क्षेत्र का उपयोग

अधिक जटिल आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल खोजने के लिए, वर्गों की गणना प्रक्रिया वैसी ही रहती है। आपको हमेशा सुनिश्चित करना चाहिए कि प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम पूरी तरह से इकाई वर्गों से भरी हो।

उदाहरण: अनियमित आकृतियाँ

क्या होगा अगर आपके पास एक अनियमित आकृति हो? नीचे दिए गए ग्रिड पर आकृति पर विचार करें:

___________________ | | | # | # | | |---+---+---+---+---| | | # | # | | | |---+---+---+---+---| | # | # | | | | |---+---+---+---+---| | # | | | | | |___|___|___|___|___|
___________________ | | | # | # | | |---+---+---+---+---| | | # | # | | | |---+---+---+---+---| | # | # | | | | |---+---+---+---+---| | # | | | | | |___|___|___|___|___|

यह आकृति एक साफ़-सुथरे आयत को नहीं ढकती है। इसका क्षेत्रफल पाने के लिए, आप आकृति की सीमा के भीतर प्रत्येक वर्ग की गिनती करते हैं। जब ज़रूरत हो, तो पूर्ण वर्गों के साथ वर्ग इकाइयों के अंशों को जोड़ें। ऊपर दिए ग्रिड में, पूर्ण वर्गों की कुल संख्या 6.5 (6 पूर्ण वर्ग और 2 आधे वर्ग मिलाकर) होती है। इसलिए, क्षेत्रफल 6.5 वर्ग इकाइयाँ है।

विचारशील अभ्यास समस्याएँ

निम्न आकृतियों पर विचार करने के लिए अभ्यास करें और उनका क्षेत्रफल निकालें:

1. ___________ | | | | |---+---+---| | | | # | |---+---+---| | | | # | |---+---+---| | | # | # | |___|___|___| 2. ________________ | | | | | |---+---+---+---| | | | | # | |---+---+---+---| | | # | # | # | |---+---+---+---| | # | # | # | # | |___|___|___|___| 3. ___________ | | | | |---+---+---| | | # | # | |---+---+---| | # | # | # | |---+---+---| | # | # | | |___|___|___|
1. ___________ | | | | |---+---+---| | | | # | |---+---+---| | | | # | |---+---+---| | | # | # | |___|___|___| 2. ________________ | | | | | |---+---+---+---| | | | | # | |---+---+---+---| | | # | # | # | |---+---+---+---| | # | # | # | # | |___|___|___|___| 3. ___________ | | | | |---+---+---| | | # | # | |---+---+---| | # | # | # | |---+---+---| | # | # | | |___|___|___|

वर्ग गिनती विधि का उपयोग करके उनका क्षेत्रफल निकालें।

क्षेत्रफल गणना के पीछे गणितीय समझ

वर्गों की गिनती को समझना आयतों और वर्गों का क्षेत्रफल निकालने के सूत्र को सीखने की आधारशिला प्रदान करता है। जब वर्ग इकाइयों की गिनती की जाती है तो अंतर्निहित सूत्र यह होता है:

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

चूंकि लंबाई और चौड़ाई आयत के दो दिशाओं में इकाई वर्गों की संख्या को दर्शाती हैं, उन्हें गुणा करने पर आयत के भीतर छोटे वर्गों की कुल संख्या मिलती है। यही कारण है कि गिनती वर्ग आयतों के लिए इतनी सीधे काम करती है।

निष्कर्ष

वर्गों की गिनती के द्वारा क्षेत्रफल खोजने की विधि न केवल छोटे शिक्षार्थियों को आकार से स्थान मापने का परिचय देती है, बल्कि समझ को ठोस रूप में भी आधार देती है। जैसे ही कोई इकाई टाइल्स को गिनता और दृश्य बनाता है, वेक्षेत्रफल को मापने का मतलब क्या होता है इसकी गहरी समझ हासिल करते हैं, इससे पहले कि वे बाद की कक्षाओं में अलजेब्रा सूत्रों का उपयोग करें। ऐसी गिनती के माध्यम से हाथों से अभ्यास, आकार अभ्यास के माध्यम से सुदृढ़ीकरण, और कौशल में महारत के लिए निरंतर जुड़ाव की प्रोत्साहना की जाती है।

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