Введение в пропорции

Понимание пропорций является основой математики, особенно для учеников пятого класса, которые начинают изучать отношения между числами. Пропорция — это уравнение, утверждающее, что две пропорции равны. Но прежде чем мы рассмотрим, что такое пропорция, давайте вспомним некоторые базовые концепции.

Что такое пропорция?

Пропорция — это способ сравнения двух величин с использованием деления. Она показывает, насколько одна величина соотносится с другой. Пропорция может быть записана тремя разными способами:

1. С использованием двоеточия, например, 3:4
2. С использованием слова "к", например, 3 к 4
3. В виде дроби, например, 3/4

Например, представьте, что у вас есть миска с фруктами, в которой содержится 3 яблока и 4 апельсина. Пропорция яблок к апельсинам — 3:4.

Визуальный пример пропорций

Давайте рассмотрим этот пример визуально:

На этой диаграмме каждый красный квадрат представляет собой яблоко, а каждый оранжевый квадрат представляет собой апельсин. Вы можете насчитать 3 красных квадрата и 4 оранжевых квадрата, что соответствует нашей пропорции 3:4.

Что такое пропорция?

Пропорция — это уравнение, которое выражает равенство двух пропорций. Например, если у нас есть пропорция 3/4 и другая пропорция 6/8, мы можем сказать, что эти две пропорции образуют пропорцию, потому что они равны в упрощённом виде. Другими словами, 3/4 равно 6/8.

Проверка пропорции

Пропорции можно проверить переброской. Возьмём пропорции 3/4 и 6/8:

3/4 = 6/8

Чтобы проверить это, умножьте числитель первой пропорции на знаменатель второй и наоборот:

3 * 8 = 4 * 6

Если произведения равны, то две пропорции образуют пропорцию:

24 = 24

Так как произведения равны, 3/4 и 6/8 формируют пропорцию!

Примеры пропорций

Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы лучше понять пропорции:

Пример 1: Являются ли пропорции 2:3 и 4:6 пропорциональными?

Чтобы выяснить это, напишите их в виде дробей и выполните переброску:

2/3 = 4/6

Перевращаем в произвeдение:

2 * 6 = 3 * 4

Вычисляем обе стороны, и видим:

12 = 12

Произведения равны, поэтому 2:3 и 4:6 формируют пропорцию!

Визуализация пропорций

Рассмотрим пример:

Слева два вертикальных отрезка сравнивают три положения, показывая пропорцию 2:3. Справа шесть отрезков сравнивают четыре положения, показывая пропорцию 4:6. Обе представления визуально подтверждают пропорциональное соотношение.

Пример 2: Являются ли пропорции 5:10 и 3:6 пропорциональными?

Запишите их в виде дробей:

5/10 = 3/6

Проверяем с помощью переброски:

5 * 6 = 10 * 3

Вычисление обеих сторон:

30 = 30

Произведения равны, значит, эти пропорции формируют пропорцию!

Использование пропорций

Пропорции не только теоретические, но и могут быть применены на практике в повседневных ситуациях. Вот несколько примеров:

Пример 3: Масштабирование рецепта

Если рецепт требует 2 чашки муки для приготовления 12 печений, сколько муки нужно, чтобы приготовить 18 печений?

Определите пропорцию, где:

2/12 = x/18

Перебросьте для решения за x:

2 * 18 = 12 * x

Это упрощает:

36 = 12x

Решение за x:

x = 36 / 12

Таким образом, x = 3 Вам нужно 3 чашки муки для 18 печений.

Пример 4: Расстояние поездки

Предположим, что вы знаете, что автомобиль проезжает 300 миль за 5 часов. Какое расстояние он сможет преодолеть за 8 часов при той же скорости?

Определите пропорцию:

300/5 = x/8

Перебросьте для решения за x:

300 * 8 = 5 * x

Упрощение выглядит следующим образом:

2400 = 5x

Решение за x:

x = 2400 / 5

Таким образом, x = 480 Автомобиль может проехать 480 миль за 8 часов при той же скорости.

Почему пропорции важны?

Пропорции помогают нам понять отношения между величинами. Они могут упростить сложные задачи, сделать их управляемыми и позволить делать прогнозы на основе известных данных. Умение понимать и применять пропорции - полезный навык во многих областях, таких как наука, кулинария, строительство и искусство.

Практические задачи

Решите эти практические задания, чтобы проверить своё понимание пропорций:

1. Являются ли пропорции 9:12 и 3:4 пропорциональными?
2. Если 5 карандашей стоят $2, сколько будет стоить 20 карандашей?
3. На карте указано, что 1 дюйм представляет 10 миль. Сколько миль представляют 3,5 дюйма?
4. В группе из 50 студентов 30 девушек. Какова пропорция девушек к общей группе?

Понимание пропорций даст вам прочную основу в математике. Продолжайте практиковаться с разными примерами и встречать пропорции в повседневной жизни!

комментарии