प्रायिकता का परिचय

प्रायिकता गणित की एक शाखा है जो किसी दिए गए घटना के होने की संभावना की गणना करने से संबंधित है, जिसे 1 और 0 के बीच की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसका अर्थ है कि यह अनिश्चितता को मापने का एक तरीका है या सरल शब्दों में, यह समझने की एक विधि है कि कोई घटना कितनी संभावना है कि घटित होगी।

प्रायिकता की मूलभूत अवधारणाएं

प्रायिकता क्या है?

सरल भाषा में, प्रायिकता हमें यह बताती है कि कुछ होने की संभावना कितनी है। जब हम कहते हैं कि कुछ होने की संभावना है, तो हमारा मतलब है कि यह 0 से 1 तक की संख्या के रूप में मॉडल किया गया एक मौका है:

• 0 का अर्थ है कि घटना घटित नहीं होगी।
• 1 का अर्थ है कि घटना निश्चित रूप से घटित होगी।

उदाहरण के लिए, यदि हम सिक्का उछालते हैं, तो इसके सिर पर आने की प्रायिकता क्या है? चूंकि दो संभावित परिणाम हैं—सिर या पूंछ—इसलिए प्रायिकता 1/2, या 0.5 है।

घटनाओं को समझना

एक घटना कोई भी परिणाम या परिणामों का सेट हो सकता है। उदाहरण के लिए:

• संख्या घन (पासे) फेंकते समय 6 आना।
• ताश के पत्तों की गड्डी से एक लाल पत्ता निकालना।

एक घटना साधारण या संयुक्त हो सकती है। एक साधारण घटना का एक ही परिणाम होता है, जबकि एक संयुक्त घटना में दो या अधिक साधारण घटनाएं शामिल होती हैं।

नमूना स्थान

किसी प्रयोग का नमूना स्थान सभी संभावित परिणामों का सेट है। उदाहरण के लिए, जब हम छह-तरफा पासा फेंकते हैं, तो नमूना स्थान {1, 2, 3, 4, 5, 6} है।

चलो पासा के माध्यम से नमूना स्थान की अवधारणा को चित्रित करने के लिए एक दृश्य बनाते हैं:

प्रायिकता की गणना

किसी घटना की प्रायिकता की गणना घटना के घटित होने के तरीकों की संख्या को नमूना स्थान में सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

सूत्र है:

किसी घटना की प्रायिकता = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभव परिणामों की कुल संख्या)

उदाहरण के लिए जब पासा फेंकते हैं, तो 4 आने की प्रायिकता है:

प्रायिकता = 1 / 6

क्योंकि पासा पर केवल एक "4" है, इसलिए छह संभावित परिणाम हैं।

परपूरक कार्यक्रम

परपूरक घटनाएं उन परिणामों के जोड़े हैं जो सभी संभावनाओं को कवर करती हैं। उदाहरण के लिए, सिक्का उछालते समय:

• घटना "सिर" "पूंछ" का परपूरक होता है।

सिर और पूंछ की प्रायिकता बराबर है, जो 1 के बराबर है। इसे चित्र में देखें:

प्रायिकता के वास्तविक जीवन के उदाहरण

पासा फेंकना

एक मानक छह-तरफा पासा पर 3 आने की प्रायिकता क्या है? इसे खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

3 के आने की प्रायिकता = (3 प्राप्त करने के तरीकों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

क्योंकि पासा पर केवल एक 3 है और छह संभावित परिणाम हैं, इसलिए प्रायिकता 1/6 है।

कार्ड का चयन

52 ताश के पत्तों की गड्डी पर विचार करें। एक दिल निकालने की क्या प्रायिकता है?

दिल निकालने की प्रायिकता = (गड्डी में दिल की संख्या) / (कार्डों की कुल संख्या)

गड्डी में 13 दिल हैं, इसलिए प्रायिकता 13/52 है, जो 1/4 में सरल हो जाती है।

घुमावदार तीर का उपयोग

4 समान खंडों वाले नीले, हरे, लाल और पीले रंग के घुमावदार तीर की कल्पना करें। तीर के लाल पर उतरने की क्या प्रायिकता है?

लाल की प्रायिकता = (लाल खंडों की संख्या) / (कुल खंड)

क्योंकि प्रत्येक रंग एक बार दिखाई देता है, इसलिए प्रायिकता 1/4 है।

दैनिक जीवन में प्रायिकता का उपयोग

मौसम पूर्वानुमान

मौसम पूर्वानुमान में प्रायिकता का अक्सर उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, "बारिश की 30% संभावना" का मतलब है कि यदि आप समान परिस्थितियों वाले 100 दिनों पर विचार करते हैं, तो उनमें से 30 दिनों में बारिश होनी चाहिए।

प्रायिकता के खेल

कई बोर्ड गेम्स, लॉटरी और खेल प्रायिकता पर निर्भर करते हैं। इस अवधारणा को समझकर, खेलों में सबसे अच्छी चाल का चयन करना जैसे कि रणनीतिक योजना में मदद मिल सकती है।

सहमति बनाना

निर्णय लेना अक्सर विभिन्न परिणामों की प्रायिकता को तौलने में शामिल होता है। उदाहरण के लिए, जब बारिश की 70% संभावना होती है, तो छाता लेने का निर्णय करना।

अधिक जटिल प्रायिकता अवधारणाएं

स्वतंत्र और आश्रित घटनाएं

घटनाएं स्वतंत्र होती हैं यदि एक घटना का परिणाम दूसरी घटना के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। एक सिक्के को दो बार उछालने की कल्पना करें - पहली उछाल का परिणाम दूसरी उछाल को प्रभावित नहीं करता।

आश्रित घटनाएं यह संकेत देती हैं कि एक घटना दूसरी घटना के परिणाम को प्रभावित करती है। उदाहरण के लिए, एक गड्डी से कार्ड निकालना और फिर उसे बिना लौटाए निकालना एक आश्रित घटना है।

यादृच्छिकता को समझना

यादृच्छिकता अप्रत्याशितता को शामिल करती है। एक यादृच्छिक घटना वह होती है जिसका परिणाम पहले से निर्धारित नहीं होता। इस यादृच्छिकता को समझना प्रायिकता को समझने का मूलभूत हिस्सा है।

कंप्यूटर विज्ञान में प्रायिकता

प्रायिकता का उपयोग एल्गोरिदम में किया जाता है, विशेष रूप से कृत्रिम बुद्धिमत्ता और मशीन लर्निंग में, डेटा में अनिश्चितता से निपटने के लिए।

निष्कर्ष

प्रायिकता हमें रोजमर्रा की जिंदगी में मदद करती है और अनिश्चित घटनाओं के बारे में सूचित भविष्यवाणियां करने में सहायता करती है। वर्षा की संभावना से लेकर खेलों के परिणाम की भविष्यवाणी करने तक, प्रायिकता गणित और वास्तविक दुनिया दोनों का एक मूलभूत हिस्सा है।

इन मूल बातों को समझने से आज विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग की जाने वाली अधिक उन्नत प्रायिकता विषयों की यात्रा शुरू होती है।

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