भिन्नों का परिचय
भिन्न गणित का एक आवश्यक हिस्सा हैं जिसे आप अपने जीवन भर उपयोग करेंगे। भिन्नों को समझना और यह जानना कि वे कैसे काम करते हैं, महत्वपूर्ण है क्योंकि वे हमें पूरे के भागों को समझने में मदद करते हैं और कई वास्तविक जीवन में इनके अनुप्रयोग होते हैं। आइए भिन्नों की दुनिया में गोता लगाएँ।
भिन्न क्या है?
भिन्न पूरे का एक भाग या, अधिक सामान्यतः, समान भागों की कोई संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। जब आप पिज्जा को समान स्लाइस में काटते हैं, तो प्रत्येक स्लाइस पूरे पिज्जा का एक भिन्न होता है। एक भिन्न दो संख्याओं से बना होता है, एक के ऊपर दूसरी, जिन्हें एक रेखा द्वारा अलग किया गया होता है, इस प्रकार:
a --- ba --- b
यहां, a को अंश (numerator) कहा जाता है, और b को हर (denominator) कहा जाता है। अंश दर्शाता है कि आपके पास कितने भाग हैं, और हर दर्शाता है कि पूरे को कितने भागों में विभाजित किया गया है।
भिन्नों के मूल बातें
आइए 1/4 को एक उदाहरण के रूप में लें। कल्पना करें कि आपके पास एक पिज्जा है जिसे चार समान भागों में काटा गया है। यदि आप एक स्लाइस लेते हैं, तो आपके पास 4 भागों में से 1 भाग है, इसलिए भिन्न 1/4 है:
ऊपर के दृश्य में, हल्का हरा भाग पूरे वर्ग का 1/4 है।
अंश और हर को समझना
अंश हमें बताता है कि हम कितने भागों पर विचार कर रहे हैं। यदि आपके पास 3 अंश वाला एक भिन्न है, जैसे 3/4, तो आप किसी ऐसी चीज के तीन भागों पर विचार कर रहे हैं जो चार भागों में विभाजित है।
हर दिखाता है कि पूरे को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है। 3/4 का उपयोग करते हुए, संख्या 4 दिखाती है कि पूरे को चार बराबर भागों में विभाजित किया गया है।
सामान्य भिन्नों के उदाहरण
आइए हम कुछ सामान्य भिन्नों को और उनके प्रतिरूपण को देखें:
1/2- इसका मतलब है किसी ऐसी चीज का हिस्सा जो दो समान भागों में विभाजित है। यदि आप सैंडविच को आधा काटते हैं, तो प्रत्येक आधा सैंडविच का 1/2 है।1/3- इसका मतलब है किसी चीज का एक भाग तीन बराबर भागों में विभाजित करना। यदि एक केक को तीन टुकड़ों में काटा जाता है, तो प्रत्येक टुकड़ा केक का 1/3 है।1/4- एक चौथाई या 1/4 किसी ऐसी चीज का हिस्सा है जिसे चार भागों में विभाजित किया गया है। एक पिज्जा जो चार स्लाइस में काटा गया है, प्रत्येक स्लाइस पिज्जा का 1/4 है।
एक से बड़े भिन्न
भिन्न एक से बड़ी संख्याओं का भी प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। इन्हें अपूर्ण भिन्न कहते हैं। उदाहरण के लिए, 5/3 एक अपूर्ण भिन्न है। इसका अर्थ है 3 भागों में विभाजित किसी चीज के 5 भाग। यह भिन्न 1 से बड़ा है क्योंकि आपके पास पूरे बनाने के लिए जितने भागों की आवश्यकता है उससे अधिक भाग हैं।
इस चित्रण में, प्रत्येक आयत एक पूर्ण को दर्शाता है। रेखांकित भाग उन आयतों के तीन और आधे को दर्शाता है, जो कि अपूर्ण भिन्न 7/2 (सात आधे) के बराबर हैं।
अपूर्ण भिन्नों को मिश्रित संख्या में बदलना
अपूर्ण भिन्नों को मिश्रित संख्याओं में बदला जा सकता है, जो समझने में आसान होते हैं। मिश्रित संख्याओं में एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न शामिल होता है। अपूर्ण भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए:
- अंश को हर द्वारा विभाजित करें।
- भागफल (विभाजन से मिला परिणाम) एक पूर्ण संख्या है।
- शेषफल भिन्न का अंश होता है, जिसमें मूल हर होता है।
उदाहरण के लिए, 11/4 को बदलें :
11 ÷ 4 = 2 शेषफल 311 ÷ 4 = 2 शेषफल 3
यह मिश्रित संख्या 2 3/4 में बदल जाती है।
भिन्नों को जोड़ना और घटाना
समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना और घटाना सरल है। आपको केवल अंशों को जोड़ना या घटाना होता है जबकि हर को वही रखना होता है। उदाहरण के लिए:
1/4 + 2/4 = (1 + 2)/4 = 3/41/4 + 2/4 = (1 + 2)/4 = 3/4
जब भिन्नों के हर अलग होते हैं, तो आपको एक सामान हर खोजना होता है। प्रायः यह हरों के सबसे छोटे समान गुणज होते हैं।
उदाहरण के लिए, 1/3 + 1/4 जोड़ने के लिए, आप 3 और 4 का सबसे छोटा समान गुणज पाते हैं, जो 12 है। फिर, प्रत्येक भिन्न को बदल दें:
1/3 = 4/12 1/4 = 3/12 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/121/3 = 4/12 1/4 = 3/12 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
भिन्नों का गुणा
भिन्नों को गुणा करने के लिए, अंशों को एक-साथ गुणा करें और फिर हरों को एक-साथ गुणा करें, और यदि संभव हो तो सरलीकृत करें।
उदाहरण के लिए, 2/3 को 3/4 से गुणा करने पर मिलता है:
(2/3) × (3/4) = (2×3)/(3×4) = 6/12 = 1/2(2/3) × (3/4) = (2×3)/(3×4) = 6/12 = 1/2
गुणा करने के बाद, सरलीकरण का परिणाम आता है 1/2।
भिन्नों का विभाजन
भिन्नों का विभाजन अन्य भिन्न को उलट कर (इसका प्रतिलोम खोजने) और गुणा करने से संबंधित है। प्रतिलोम अंश और हर को स्विच करके प्राप्त किया जाता है।
उदाहरण के लिए, 3/4 को 2/5 से विभाजित करें:
(3/4) ÷ (2/5) = (3/4) × (5/2) = (3×5)/(4×2) = 15/8(3/4) ÷ (2/5) = (3/4) × (5/2) = (3×5)/(4×2) = 15/8
यह परिणाम अपूर्ण भिन्न 15/8 में बदलता है, जिसे मिश्रित संख्या 1 7/8 में बदला जा सकता है।
भिन्न संचालन की दृश्य समझ
दृश्य प्रतिनिधित्व होने से भिन्न संचालन को समझना आसान हो सकता है। इसे संख्या रेखा पर धारण करने पर विचार करें, जहां संख्याओं के बीच का प्रत्येक खंड पूरे का भिन्न दर्शाता है।
यह संख्या रेखा छोटे खंडों में विभाजित करके आगे बढ़ाई जा सकती है, यह दिखाते हुए कि कैसे भिन्नों को जोड़ने या घटाने से दाएं या बाएं इन अंकनों पर स्थानांतरित होता है।
भिन्नों का सरलीकरण
भिन्नों को सरलीकरण का मतलब उन्हें उनकी सबसे सरल रूप में घटाना है। यह कदम आवश्यक है ताकि भिन्नात्मक मात्राओं के वर्णन को मानकीकृत किया जा सके।
GCD और सरलीकरण
भिन्नों को सरलीकरण करने के लिए सर्वाधिक समान विभाजक (GCD) का उपयोग करें। दो संख्याओं का GCD सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों को बिना बाकी के विभाजित कर सकती है।
उदाहरण के लिए, 8/12 को सरलीकरण करें:
8 और 12 का GCD 4 है 8/12 = (8 ÷ 4) / (12 ÷ 4) = 2/38 और 12 का GCD 4 है 8/12 = (8 ÷ 4) / (12 ÷ 4) = 2/3
इससे मिलता है भिन्न 2/3, जो इसकी सबसे सरल रूप है।
व्यावहारिक अनुप्रयोग और शब्द समस्याएँ
भिन्न केवल कक्षा के लिए नहीं हैं। वे वास्तविक दुनिया में महत्वपूर्ण भूमिकाएं निभाते हैं। भिन्नों का अक्सर खाना पकाने की रेसिपी में, निर्माण परियोजनाओं में, संपत्ति के बंटवारे में, समय प्रबंधन में, और वित्तीय गणनाओं में उपयोग किया जाता है। आइए एक व्यावहारिक शब्द समस्या देखें:
उदाहरण समस्या
मारिया के पास 5/6 मीटर लंबा एक रिबन है। वह इसे 1/6 मीटर लंबे टुकड़ों में काटना चाहती है। वह कितने टुकड़े काट सकती है?
रिबन की लंबाई = 5/6 मीटर टुकड़े की लंबाई = 1/6 मीटर टुकड़ों की संख्या = (5/6) ÷ (1/6) = (5/6) × (6/1) = 5रिबन की लंबाई = 5/6 मीटर टुकड़े की लंबाई = 1/6 मीटर टुकड़ों की संख्या = (5/6) ÷ (1/6) = (5/6) × (6/1) = 5
वह 5 टुकड़े काट सकती है, प्रत्येक 1/6 मीटर लंबा।
भिन्न और दशमलव समतुल्य
भिन्नों को दशमलव में भी बदला जा सकता है। यह विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब भिन्नों को समझना कठिन होता है या उन्हें कैलकुलेटर में दर्ज करना होता है। आप अंश को हर द्वारा विभाजित करके भिन्नों को दशमलव में बदल सकते हैं।
रूपांतरण का उदाहरण
3/8 को दशमलव में बदलें:
3 ÷ 8 = 0.3753 ÷ 8 = 0.375
अतः, 3/8 दशमलव रूप में 0.375 के बराबर है।
भिन्नों का अवधारणा बहुत विस्तृत होती है और इसमें कई बारीकियां होती हैं जैसे भिन्नों की तुलना करना, जटिल कार्य, रूपांतरण, और उन्नत अनुप्रयोग। हालांकि, इन मूल बातों को समझना आवश्यक है ताकि आगे के गणितीय कौशल को विकसित किया जा सके और उन्हें वास्तविक विश्व संदर्भों में लागू किया जा सके। भिन्न हमें भागों और पूरे को संभालने के लिए उपकरण प्रदान करते हैं, जो विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए गणितीय आधारशिला है।
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