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डिवीजन की अवधारणाएँ और रणनीतियाँ
डिवीजन का परिचय
डिवीजन एक गणितीय संक्रिया है जहाँ हम एक संख्या को समान भागों में विभाजित या समूह बनाते हैं। जब हम विभाजन करते हैं, हम यह निर्धारित करते हैं कि विभाजक कहा जाने वाला एक संख्या, भाज्य कहा जाने वाले दूसरी संख्या में कितनी बार फिट बैठता है। परिणाम को भागफल कहा जाता है, और कभी-कभी अवशेष हो सकता है।
डिवीजन समीकरण
डिवीजन समीकरण का एक उदाहरण है:
36 ÷ 4 = 9यहाँ, 36 भाज्य है, 4 विभाजक है, और 9 भागफल है। इसका अर्थ है कि 4 बिना किसी अवशेष के 36 में कुल 9 बार फिट बैठता है।
डिवीजन में प्रयुक्त शब्दों की समझ
खंडन रणनीतियों में जाने से पहले, आइए विभाजन में प्रयोग किए जाने वाले मुख्य शब्दों को समझें:
- भाज्य: वह संख्या जिसे आप विभाजित करना चाहते हैं।
- विभाजक: वह संख्या जिसके द्वारा आप विभाजित कर रहे हैं।
- भागफल: विभाजन का परिणाम।
- अवशेष: विभाजन के बाद बची हुई मात्रा यदि भाज्य को विभाजक द्वारा समान रूप से विभाजित नहीं किया जा सकता है।
मूल विभाजन अवधारणाएँ
समूह बनाकर विभाजन को देखना
विभाजन को समझने का एक तरीका समूह बनाना है। मान लीजिए कि हम 12 को 3 से समूह बनाकर विभाजित करना चाहते हैं:
चित्र में, प्रत्येक आयत 3 से 12 को विभाजित करते समय एक समूह का प्रतिनिधित्व करता है, जिससे चार ऐसे समूह बनते हैं।
लंबी भाग
लंबी भाग की विधि एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने की चरण-दर-चरण विधि है। यह विशेष रूप से बड़े भाज्यों के लिए उपयोगी है। यहाँ लंबी भाग का उदाहरण है:
432 को 7 से विभाजित करें।
चरण:
- भागफल (432) और विभाजक (7) लिखें।
- यह निर्धारित करें कि 7 43 में कितनी बार फिट होता है। यह 6 बार फिट होगा क्योंकि 7 x 6 = 42।
- 43 के ऊपर भागफल स्थान पर 6 लिखें।
- 43 से 42 घटाएं, फिर 2 द्वारा अगली संख्या लाएं ताकि यह 12 हो।
- समझें कि 7 12 में कितनी बार फिट होता है। यह एक बार फिट होता है। भागफल में 1 लिखें।
- 12 से 7 घटाएं और अवशेष 5 प्राप्त करें।
6 1
-----
7 | 432
-42
-----
12
- 7
-----
5भागफल 61 है और अवशेष 5 है, इसलिए 432 को 7 से विभाजित करने पर 61 R5 मिलता है।
लंबी भाग के चरण
आइए शामिल चरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:
- विभाजन: यह निर्धारित करें कि विभाजक वर्तमान संख्या या भाज्य की शुरुआती कुछ अंकों में कितनी बार फिट होता है।
- गुणा: विभाजक को विभाजन चरण में प्राप्त भागफल द्वारा गुणा करें।
- घटाना: वर्तमान संख्या से भाज्य की मात्रा को घटाएं।
- अगला अंक लाएं: भाज्य का अगला अंक लाएं और प्रक्रिया को दोहराएँ।
आंशिक भागफल विधि
विभाजन के लिए एक और रणनीति आंशिक भागफल विधि का उपयोग करना है। इस विधि में भागों को घटाना और फिर भागफलों को जोड़ना शामिल है। यहाँ बताया गया है कि आप आंशिक भागफल विधि का उपयोग कैसे करते हैं:
आइए आंशिक भागफल विधि का उपयोग करके 150 को 12 से विभाजित करें।
क्रमशः:
- अनुमान लगाएँ कि 12 कितनी बार 150 में फिट होता है। गणना को आसान बनाने के लिए 10 जैसा एक आसान संख्या से शुरू करें।
- 12 x 10 = 120। 150 में से 120 घटाने पर 30 बचता है।
- फिर से 30 के लिए अनुमान लगाएँ। आप 2 आजमा सकते हैं क्योंकि 12 x 2 = 24 है।
- यदि आप 30 में से 24 घटाएं, तो अवशेष 6 होगा।
- भागफल भागों को जोड़ें: 10 + 2 = 12।
10 2
---
12 (अंतिम भागफल प्राप्त करने के लिए जोड़ें)विभाजन पर, हमें 12 का भागफल और 6 का अवशेष मिलता है।
अवशेष की व्याख्या
कभी-कभी डिवीजन के बाद अवशेष होता है। अवशेष की व्याख्या हम संदर्भ पर निर्भर करते हुए करते हैं:
- अवशेष को इग्नोर करें: अगर आपको सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो आप अवशेष को नज़रअंदाज कर सकते हैं।
- भागफल को राउंड ऑफ करें: अगर आपको प्रत्येक वस्तु को समूह में कवर करने की आवश्यकता है, तो राउंड ऑफ करें।
- भिन्न के रूप में व्यक्त करें: अवशेष को विभाजक के भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें।
- दशमलव में बदलें: यदि आवश्यक हो, तो अवशेष को दशमलव में बदलने के लिए डिवीजन जारी रखें।
एक उदाहरण पर विचार करें: 37 कुकीज़ को 5 लोगों के बीच बाँटना।
37 ÷ 5 = 7 R2इसका अर्थ है कि प्रत्येक व्यक्ति को 7 कुकीज़ मिलेंगी, और 2 कुकीज़ बचेंगी। संदर्भ के आधार पर, आप चाह सकते हैं:
- बची 2 कुकीज़ को ऐसे ही रखें।
- प्रत्येक व्यक्ति को 8 कुकीज़ मिलें (जिसके लिए और अधिक कुकीज़ की आवश्यकता होगी)।
- यह व्यक्त करें कि प्रत्येक व्यक्ति को
7 2/5कुकीज़ मिलेंगी, या दशमलव के रूप में7.4।
अभ्यास के लिए उदाहरण
बेहतर समझ के लिए विभिन्न विभाजन समस्याओं का अभ्यास करें।
उदाहरण 1
लंबी भाग का उपयोग करके 385 को 5 से विभाजित करें:
चरण:
- 5 कितनी बार 38 में जाएगा? यह 7 बार जाएगा
- 7 x 5 = 35, 38 – 35 = 3
- 5 को 35 पर लाएं
- 5 35 में ठीक 7 बार जाएगा
7 7
-----
5 | 385
-35
-----
35
-35
-----
0तो, 385 ÷ 5 = 77।
उदाहरण 2
आंशिक भागफल का उपयोग करके 250 को 6 से विभाजित करें:
- अनुमान: 6 x 40 = 240, घटाने के बाद अवशेष 10
- दोहराना: 6 x 1 = 6, घटाने पर 4 बचेंगे
- जोड़ें: 40 + 1 = 41
- अवशेष 4 है
40 1
---
41 (भागफल 4 के अवशेष के साथ)निष्कर्ष
विभाजन एक आवश्यक गणितीय संक्रिया है जिसमें एक संख्या को समान भागों में समूह बनाना, साझा करना या वितरित करना शामिल है। लंबी भाग और आंशिक भागफल जैसी विभिन्न रणनीतियों का उपयोग करके विभाजन समस्याओं को हल करने और भाज्य, विभाजक, भागफल, और अवशेष के अवधारणाओं को बेहतर तरीके से समझने में मदद मिलती है। अभ्यास और इन रणनीतियों के साथ, विभाजन समस्याओं का समाधान अधिक प्रबंधनीय और व्यावहारिक हो सकता है।
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