Universitario
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  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
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  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
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  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
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  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
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  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Dualidad en programación lineal y optimización


La dualidad es un concepto fascinante en la programación lineal y la optimización que proporciona una visión profunda de los modelos matemáticos y los problemas del mundo real. Para entender la dualidad, primero debemos tener una comprensión básica de los problemas de programación lineal. Estos problemas implican optimizar una función objetivo lineal sujeta a un conjunto de desigualdades o ecuaciones lineales llamadas restricciones.

Comprender el problema raíz

Comencemos considerando un problema de programación lineal, generalmente conocido como el "problema Primal". Suponga que queremos maximizar el beneficio dado por una función lineal. El problema puede expresarse como:


Maximizar: Z = c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn
Sujeto a:
a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn ≤ b1
a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn ≤ b2
...
am1*x1 + am2*x2 + ... + amn*xn ≤ bm
x1, x2, ..., xn ≥ 0

Aquí, x1, x2, ..., xn son las variables de decisión, c1 a cn son los coeficientes de la función objetivo, y a11 a amn y b1 a bm son los coeficientes de las restricciones.

Formulación del problema dual

Cada problema de programación lineal tiene un "problema dual" correspondiente. El concepto clave en la dualidad es que resolver el problema dual proporciona un límite en el valor del problema original. Para el problema original expuesto anteriormente, el problema de dualidad puede expresarse como:


Minimizar: W = b1*y1 + b2*y2 + ... + bm*ym
Sujeto a:
a11*y1 + a21*y2 + ... + am1*ym ≥ c1
a12*y1 + a22*y2 + ... + am2*ym ≥ c2
...
a1n*y1 + a2n*y2 + ... + amn*ym ≥ cn
y1, y2, ..., ym ≥ 0

Aquí, y1, y2, ..., ym son las variables de decisión para el problema de dualidad. El teorema de dualidad establece que si el problema original tiene una solución óptima, entonces el problema de dualidad también tiene una solución óptima, y los valores óptimos de sus funciones objetivo son iguales.

Ejemplo visual

Utilicemos un sistema simple de 2 variables para explicar visualmente el concepto de problemas primales y duales:

x2 x1 Punto óptimo

En este ejemplo, el área sombreada representa la región factible para un problema primitivo con dos variables de decisión. La línea roja discontinua representa la función objetivo que queremos maximizar. El punto verde marca la solución óptima, donde la función objetivo alcanza su valor más alto dentro de la región factible.

Propiedades de la dualidad

El concepto de dualidad en programación lineal está marcado por varias propiedades importantes:

  • Dualidad débil: Para cualquier posible solución de los problemas original y dual, el valor de la función objetivo del problema dual es siempre mayor o igual al valor de la función objetivo del problema original. Formalmente: 
            Z ≤ W
  • Dualidad fuerte: Si tanto los problemas original como dual tienen soluciones factibles, entonces los valores óptimos de sus funciones objetivo son iguales: 
            Z* = W*
  • Holgura complementaria: La solución a un problema de programación lineal es óptima solo cuando se cumplen las condiciones de holgura complementaria. Esto significa que para cada restricción primaria, o bien la restricción está activa o su variable dual es cero.

Ejemplos de dualidad en la práctica

La dualidad en programación lineal no es solo un concepto teórico; tiene aplicaciones prácticas en varios campos como la economía, la ingeniería y la logística. Consideremos algunos ejemplos para entender cómo se puede aplicar la dualidad:

Ejemplo 1: Asignación de recursos

En un proceso de fabricación, queremos determinar las cantidades óptimas de dos productos, A y B, dadas las limitaciones en recursos. Veámoslo como un problema elemental:


Maximizar: Beneficio = 50*xA + 80*xB
Sujeto a:
2*xA + 4*xB ≤ 100 (Recurso 1)
1*xA + 3*xB ≤ 90 (Recurso 2)
xA, xB ≥ 0

En este caso, el problema dual implicará encontrar los precios sombra de los recursos, que muestran cuánto aumentará la función objetivo si la cantidad de un recurso particular se hace mayor:


Minimizar: Costo = 100*y1 + 90*y2
Sujeto a:
2*y1 + 1*y2 ≥ 50
4*y1 + 3*y2 ≥ 80
y1, y2 ≥ 0

Ejemplo 2: Problema de la dieta

Otra aplicación interesante es diseñar dietas que cumplan los requisitos diarios de nutrientes a un costo mínimo. Suponga que tenemos el siguiente problema elemental:


Minimizar: Costo = 3*x1 + 4*x2
Sujeto a:
3*x1 + 2*x2 ≥ 8 (Proteínas)
1*x1 + 2*x2 ≥ 6 (Vitaminas)
x1, x2 ≥ 0

El problema dual implica encontrar el costo de satisfacer unidades adicionales de requisitos nutricionales:


Maximizar: Nutrición = 8*y1 + 6*y2
Sujeto a:
3*y1 + 1*y2 ≤ 3
2*y1 + 2*y2 ≤ 4
y1, y2 ≥ 0

Interpretación geométrica de la dualidad

La interpretación geométrica de la dualidad proporciona una valiosa comprensión de la relación entre los problemas primal y dual. En el problema primal, las restricciones definen una región factible, y la función objetivo es una línea que se puede mover para encontrar el punto factible más alto. En el problema dual, las restricciones se representan en cierto sentido como costos unitarios, y la solución se encuentra buscando el costo factible más bajo.

Tanto los problemas primal como los duales pueden considerarse como un "volteo" de la región factible. Los vértices de la región factible primal definen las restricciones para el problema dual y viceversa.

Importancia de la dualidad

El concepto de dualidad es importante porque proporciona una forma de verificar la optimalidad de una solución sin evaluar directamente cada posibilidad. Resolver ya sea el problema primal o dual es suficiente para determinar la solución óptima. Esta dualidad forma la base de muchas técnicas avanzadas de optimización, incluyendo la programación entera, los caminos de flujo de redes y más.

La dualidad también proporciona interpretaciones económicas para problemas. Asigna un valor a las restricciones, a menudo llamado el precio sombra, que muestra cuánto mejoraría la función objetivo si se dispusiera de más recursos.

En resumen, la dualidad en programación lineal es un concepto profundo que conecta problemas de optimización de maneras significativas. Comprender las relaciones primal y dual puede ayudar a proporcionar ideas económicas, resolver problemas de optimización de manera eficiente y ofrecer ventajas teóricas en estudios matemáticos más amplios. La belleza de la dualidad radica en su aplicabilidad y el marco conceptual que proporciona para una exploración más profunda de problemas.


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