Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

Graduação → Introdução à Matemática Discreta ↓


Relação de recorrência


Relação de recorrência é um conceito interessante e poderoso em matemática discreta que é amplamente utilizado em ciência da computação, especialmente na análise de algoritmos e no cálculo de séries. A ideia básica por trás de uma relação de recorrência é que ela expressa uma sequência de números (ou outros elementos) em que cada termo é definido em termos de um ou mais de seus termos anteriores.

Compreender relações de recorrência envolve traçar como a sequência evolui passo a passo e, se possível, encontrar uma fórmula direta para o enésimo termo, conhecida como solução de forma fechada. Vamos olhar esses conceitos passo a passo, explorando suas propriedades, os diferentes tipos, maneiras de resolvê-los e suas aplicações, com inúmeros exemplos.

Conceito básico

A relação de recorrência para uma sequência a n é uma equação que expressa a n em termos de um ou mais de seus predecessores, como a n-1, a n-2, ..., etc., bem como alguns termos iniciais. A sequência é gerada recursivamente, o que significa que, após determinar um certo número de termos iniciais, cada termo subsequente pode ser determinado aplicando a fórmula a termos anteriores.

Formulando uma relação de recorrência

Existem várias formas de relações de recorrência, e elas podem geralmente ser divididas de acordo com suas características: ordem, linearidade e simetria. A ordem de uma relação de recorrência refere-se a quantos termos anteriores foram usados. Por exemplo, uma relação de recorrência é de ordem k se a n é expressa como a n-1, a n-2, ..., a nk.

Exemplos de relações de recorrência

Vamos considerar um dos exemplos mais famosos de uma relação de recorrência: a sequência de Fibonacci. A sequência começa com as seguintes condições iniciais:

 a 0 = 0 a 1 = 1

E cada próximo termo é a soma dos dois termos que o precedem:

 a n = a n-1 + a n-2 onde n ≥ 2

Outro exemplo simples é uma sequência onde cada termo é o dobro do termo anterior:

 a 0 = 1 a n = 2 * a n - 1 onde n ≥ 1

Esta sequência produz os seguintes termos: 1, 2, 4, 8, 16, ..., e procede multiplicando cada termo por 2.

Classificação de relações de recorrência

Relações de recorrência podem ser classificadas em diferentes categorias com base em certas propriedades:

  • Linear vs. Não-linear: Uma relação de recorrência é dita linear se cada termo a nk (para alguma constante k) é multiplicado por uma constante e nenhum termo é multiplicado junto. Caso contrário, ela é não-linear.
  • Homogênea vs. Não homogênea: Uma relação de recorrência linear é homogênea se nenhum dos termos nela são constantes (os termos dependem de n mas não da sequência).
  • Ordem: A ordem de uma relação de recorrência é o número de termos anteriores aos quais ela está ligada para definir cada termo da sequência.

Exemplos de classificação

Considere os seguintes exemplos:

 a n = 3a n-1 + 4a n-2 (linear e homogênea de ordem 2) a n = 2a n - 1 + n (linear e não uniforme) a n = a n-1 ^2 + a n-2 (não-linear)

Solução de relações de recorrência

Resolver uma relação de recorrência envolve encontrar uma função, normalmente expressa como n, que fornece qualquer termo da sequência diretamente sem precisar conhecer os termos anteriores. Aqui descrevemos alguns dos métodos usados para resolver relações de recorrência.

Método de substituição

O método de substituição, também chamado de "iteração de repetições", envolve assumir uma forma normal e provar, através de substituição e indução matemática, que é verdadeira para todos os n.

Para a relação de recorrência a n = 2a n-1 com o termo inicial a 0 = 1, consideraremos uma solução da forma:

 a n = 2^n

Por indução pode ser verificado que esta forma satisfaz a relação de recorrência e a condição inicial.

Método da equação característica

Este método é principalmente usado para relações de recorrência lineares homogêneas. Ele envolve escrever a relação de recorrência na forma de equações características.

Considere a recorrência a n = 5a n-1 - 6a n-2. Assuma uma solução da forma a n = r^n Substituição dá a equação característica:

 r^2 = 5r - 6

Resolver esta equação quadrática dará as raízes, permitindo construir uma solução geral com base nessas raízes.

Função geradora

Funções geradoras são úteis para encontrar fórmulas explícitas para sequências definidas recursivamente. Uma função geradora é uma série de potências formal cujos coeficientes são os termos da sequência.

Para uma sequência dada {a n }, a função geradora é dada por:

 g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ...

Manipulando esta série, podemos muitas vezes obter uma expressão de forma fechada para an.

Aplicações de relações de recorrência

Relações de recorrência são usadas em uma variedade de campos e problemas. Elas são comumente usadas no design e análise de algoritmos, programação dinâmica, modelagem financeira e gráficos de computador. Aqui estão algumas aplicações típicas:

  • Análise de algoritmos: Relações de recorrência muitas vezes refletem a complexidade de tempo de algoritmos recursivos. Por exemplo, o algoritmo de merge sort leva à relação de recorrência T(n) = 2T(n/2) + n.
  • Programação Dinâmica: Muitas soluções de programação dinâmica são baseadas em relações de recorrência. Problemas como a Subsequência Comum Mais Longa, problema da Mochila, etc. são resolvidos usando relações de recorrência.
  • Problemas de contagem: Muitos problemas de contagem usam relações de recorrência, como contar o número de árvores binárias com n nós. Estes podem ser derivados recursivamente e, em seguida, resolvidos para soluções de forma fechada.

Exemplos explicados com soluções passo a passo

Vamos olhar um exemplo detalhado para entender completamente como as relações de recorrência são formuladas e resolvidas.

Exemplo 1: Sequência de Fibonacci

Anteriormente introduzimos a sequência de Fibonacci, que é definida como:

 a 0 = 0, a 1 = 1 a n = a n-1 + a n-2 onde n ≥ 2

Para resolver esta relação de recorrência, assuma uma solução característica da forma a n = r^n Substituindo, obtemos:

 r^n = r^(n-1) + r^(n-2) 
 r^2 = r + 1

Usamos a fórmula quadrática para resolver a equação característica:

 r = (1 ± √5) / 2

Vamos chamar estas raízes r1 e r2. A solução geral para a recorrência de Fibonacci é uma combinação de soluções para cada raiz:

 a n = c 1 r1^n + c 2 r2^n

Usando as condições iniciais, determinamos os valores 0, 1 de C 1 e C 2 para a sequência padrão, chegando assim à forma fechada conhecida.

Exemplo 2: Relacionamento linear homogêneo

Dada a relação a n = 3a n-1 - 4a n-2 com termos iniciais a 0 = 1, a 1 = 2, resolvemos estabelecendo:

 r^2 = 3r - 4

Resolvendo, obtemos que r1 = 4, r2 = -1. Portanto, a solução geral é:

 a n = c 1 4^n + c 2 (-1)^n

Usando as condições iniciais, encontramos C 1 e C 2 para coincidir com a 0 = 1 e a 1 = 2, o que gera os termos.

Conclusão

Relações de recorrência são a espinha dorsal no estudo de sequências e algoritmos iterativos. Compreendê-las permite modelar processos complexos de forma simples e obter soluções para problemas recursivos. Como visto, são versáteis, com soluções disponíveis através de várias técnicas como substituição, equações características e funções geradoras, mostrando seu poder e relevância em diversos contextos matemáticos e aplicações do mundo real.


Graduação → 8.5


U
username
0%
concluído em Graduação

← Anterior (8.4)
Álgebra booleana
Próximo (9) →
Programação Linear e Otimização

Comentários 



Relação de recorrência

https://www.buddymath.com/ug/8.5?bmal=pt