आवृत्ति संबंध

आवृत्ति संबंध असतत गणित में एक दिलचस्प और शक्तिशाली अवधारणा है जो कम्प्यूटर विज्ञान में विशेष रूप से एल्गोरिदम के विश्लेषण और श्रृंखला की गणना में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। आवृत्ति संबंध के पीछे मुख्य विचार यह है कि यह संख्याओं (या अन्य तत्वों) की एक श्रृंखला को व्यक्त करता है जिसमें प्रत्येक पद एक या एक से अधिक पिछले पदों के संदर्भ में परिभाषित होता है।

आवृत्ति संबंध को समझने के लिए यह देखना होता है कि अनुक्रम कैसे कदम-दर-कदम विकसित होता है और यदि संभव हो तो एनवें पद के लिए एक सीधा सूत्र खोजें, जिसे बंद-रूप समाधान कहा जाता है। आइए इन अवधारणाओं को क्रमशः देखें, उनके गुणों, विभिन्न प्रकारों, उन्हें हल करने के तरीकों और उनके अनुप्रयोगों की खोज करें, जिनमें कई उदाहरण शामिल हैं।

मूलभूत अवधारणा

अनुक्रम an के लिए आवृत्ति संबंध एक समीकरण है जो an को उसके पूर्वजों में से एक या अधिक के संदर्भ में, जैसे कि an-1, an-2, ..., आदि के साथ-साथ कुछ प्रारंभिक पदों के रूप में व्यक्त करता है। अनुक्रम को पुनरावृत्त स्वरूप में उत्पन्न किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एक निश्चित संख्या में प्रारंभिक पदों का निर्धारण करने के बाद, प्रत्येक अगला पद पहले के पदों पर सूत्र लागू करके निर्धारित किया जा सकता है।

आवृत्ति संबंध तैयार करना

आवृत्ति संबंध के विभिन्न रूप होते हैं, और उन्हें आमतौर पर उनकी विशेषताओं के अनुसार विभाजित किया जा सकता है: क्रम, रेखीयता, और सममितता। आवृत्ति संबंध का क्रम यह दर्शाता है कि कितने पिछली पदों का उपयोग किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि an को an-1, an-2, ..., an-k के रूप में व्यक्त किया गया है, तो यह क्रम k के होते हैं।

आवृत्ति संबंध के उदाहरण

आइए सबसे प्रसिद्ध आवृत्ति संबंध उदाहरणों में से एक पर विचार करें: फिबोनाची अनुक्रम। अनुक्रम निम्नलिखित प्रारंभिक स्थितियों से शुरू होता है:

a 0 = 0
a 1 = 1

और प्रत्येक अगला पद इसे पूर्ववर्ती दो पदों का योग है:

a n = a n-1 + a n-2 जहां n ≥ 2

एक और सरल उदाहरण वह अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद पिछला पद का दोगुना होता है:

a 0 = 1
a n = 2 * a n - 1 जहां n ≥ 1

यह अनुक्रम निम्नलिखित पद उत्पन्न करता है: 1, 2, 4, 8, 16, ..., और प्रत्येक पद को 2 से गुणा करता है।

आवृत्ति संबंध का वर्गीकरण

आवृत्ति संबंध को कुछ गुणों के आधार पर विभिन्न श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

• रेखीय बनाम अरेखीय: किसी आवृत्ति संबंध को रेखीय कहा जाता है यदि प्रत्येक पद an-k (किसी स्थिरांक k के लिए) को एक स्थिरांक से गुणा किया जाता है और कोई पद आपस में गुणा नहीं किया जाता है। अन्यथा, यह अरेखीय होता है।
• समसामान्य बनाम असमसामान्य: एक रेखीय आवृत्ति संबंध समसामान्य होता है यदि इसमें कोई भी पद स्थिरांक नहीं होता है (पद n पर निर्भर करते हैं लेकिन अनुक्रम पर नहीं)।
• क्रम: आवृत्ति संबंध के क्रम को उस संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसे अनुक्रम के प्रत्येक पद को निर्धारित करने में संबंधित पिछले पदों की होती है।

वर्गीकरण के उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

a n = 3a n-1 + 4a n-2 (रेखीय और समसामान्य क्रम 2 का)
a n = 2a n - 1 + n (रेखीय और असमान्य)
a n = a n-1 ^2 + a n-2 (अरेखीय)

आवृत्ति संबंध का समाधान

आवृत्ति संबंध को हल करना एक फ़ंक्शन को खोजना होता है, जिसे आम तौर पर n के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो अनुक्रम के किसी भी पद को सीधे देता है बिना पिछले पदों की आवश्यकता के। यहां कुछ विधियों का वर्णन किया गया है जो आवृत्ति संबंध को हल करने के लिए उपयोग की जाती हैं।

प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि, जिसे "दोहराव की पुनरावृत्ति" भी कहा जाता है, सामान्य रूप मान कर और प्रतिस्थापन और गणितीय प्रेरण के माध्यम से साबित करने पर आधारित होती है कि यह सभी के लिए सत्य है।

आवृत्ति संबंध a n = 2a n-1 के लिए प्रारंभिक पद a 0 = 1 के साथ, हम निम्नलिखित रूप के समाधान पर विचार करेंगे:

a n = 2^n

प्रेरण के माध्यम से यह सत्यापित किया जा सकता है कि यह रूप आवृत्ति संबंध और प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है।

लक्षणात्मक समीकरण विधि

यह विधि मुख्य रूप से रेखीय समजात आवृत्ति संबंधों के लिए उपयोग की जाती है। इसमें आवृत्ति संबंध को लक्षणात्मक समीकरणों के रूप में लिखना शामिल होता है।

आवृत्ति a n = 5a n-1 - 6a n-2 पर विचार करके। a n = r^n के रूप में एक समाधान मान लें। प्रतिस्थापन लक्षणात्मक समीकरण देता है:

r^2 = 5r - 6

इस द्विघात समीकरण को हल करने से मूल्यों की प्राप्ति होगी, जो इन मूल्यों के आधार पर एक सामान्य समाधान बनाने की अनुमति देता है।

जनरेटिंग फंक्शन

जनरेटिंग फंक्शन्स पुनरावृत्त परिभाषित अनुक्रमों के लिए स्पष्ट सूत्र खोजने में उपयोगी होते हैं। एक जनरेटिंग फंक्शन एक औपचारिक पावर श्रृंखला है जिसके गुणांक अनुक्रम के पद होते हैं।

दिए गए अनुक्रम {a n } के लिए, जनरेटिंग फंक्शन दिया जाता है:

g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ...

इस श्रृंखला को हेरफेर करके, हम अक्सर an के लिए एक बंद-रूप अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं।

आवृत्ति संबंध का अनुप्रयोग

आवृत्ति संबंध का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों और समस्याओं में किया जाता है। इन्हें एल्गोरिदम डिज़ाइन और विश्लेषण, गतिशील प्रोग्रामिंग, वित्तीय मॉडलिंग, और कम्प्यूटर ग्राफिक्स में सामान्यतः उपयोग किया जाता है। यहां कुछ विशिष्ट अनुप्रयोग दिए गए हैं:

• एल्गोरिदम विश्लेषण: आवृत्ति संबंध अक्सर आवृत्तिमूलक एल्गोरिदम की समय जटिलता को प्रतिबिंबित करते हैं। उदाहरण के लिए, मर्ज सॉर्ट एल्गोरिदम में आवृत्ति संबंध T(n) = 2T(n/2) + n का परिणाम होता है।
• गतिशील प्रोग्रामिंग: कई गतिशील प्रोग्रामिंग समाधान आवृत्ति संबंध पर आधारित होते हैं। 'Longest Common Subsequence', 'Knapsack problem' आदि समस्याओं को आवृत्ति संबंध द्वारा हल किया जाता है।
• गणना समस्याएं: कई गणना समस्याएं आवृत्ति संबंध का उपयोग करती हैं, जैसे कि n नोड्स के साथ द्विआधारी वृक्षों की संख्या की गणना करना। इन्हें पुनरावृत रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है और फिर बंद-रूप समाधान के लिए हल किया जा सकता है।

स्टेप-बाय-स्टेप समाधानों के साथ समझाया गया उदाहरण

चलो एक विस्तृत उदाहरण को देखते हैं ताकि पूरी तरह से समझ सकें कि आवृत्ति संबंध कैसे तैयार किए जाते हैं और हल किए जाते हैं।

उदाहरण 1: फिबोनाची अनुक्रम

हमने पहले फिबोनाची अनुक्रम का परिचय दिया था, जो इस प्रकार परिभाषित होता है:

a 0 = 0, a 1 = 1
a n = a n-1 + a n-2 जहां n ≥ 2

इस आवृत्ति संबंध को हल करने के लिए, a n = r^n के रूप में एक लक्षणात्मक समाधान मान लें। प्रतिस्थापित करके, हमें मिलता है:

r^n = r^(n-1) + r^(n-2)


r^2 = r + 1

हम लक्षणात्मक समीकरण को हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं:

r = (1 ± √5) / 2

आइए इन मूलों को r1 और r2 कहते हैं। फिबोनाची आवृत्ति का सामान्य समाधान प्रत्येक मूल के लिए समाधानों का संयोजन है:

a n = c 1 r1^n + c 2 r2^n

प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करते हुए, हम C 1 और C 2 के मान 0, 1 को मानक अनुक्रम के लिए निर्धारित करते हैं, जिससे ज्ञात बंद-रूप प्राप्त होता है।

उदाहरण 2: रेखीय समजात आवृत्ति

उपलब्ध सम्बन्ध a n = 3a n-1 - 4a n-2 के लिए प्रारंभिक पद a 0 = 1, a 1 = 2, हम इसे हल करते हैं:

r^2 = 3r - 4

हल करके, हमें r1 = 4, r2 = -1 मिलता है। अतः, सामान्य समाधान है:

a n = c 1 4^n + c 2 (-1)^n

प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करते हुए, हम C 1 और C 2 प्राप्त करते हैं ताकि a 0 = 1 और a 1 = 2 से मेल खा सकें, जो पद उत्पन्न करता है।

निष्कर्ष

आवृत्ति संबंध अनुक्रमों और आवर्तित एल्गोरिदम के अध्ययन में आधार होते हैं। उन्हें समझने से किसी जटिल प्रक्रिया को सरल तरीके से मॉडल करने की और पुनरावृत्त समस्याओं के समाधान प्राप्त करने की अनुमति मिलती है। जैसा कि देखा गया, वे बहुआयामी होते हैं, प्रतिस्थापन, लक्षणात्मक समीकरण, और जनरेटिंग फंक्शन्स जैसी विभिन्न तकनीकों के माध्यम से उपलब्ध समाधानों के साथ, यह उनकी शक्ति और विभिन्न गणितीय और वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग प्रसंगों में प्रासंगिकता को दर्शाता है।

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