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Relación de recurrencia


La relación de recurrencia es un concepto interesante y poderoso en matemáticas discretas que se utiliza ampliamente en ciencias de la computación, especialmente en el análisis de algoritmos y el cálculo de series. La idea básica detrás de una relación de recurrencia es que expresa una secuencia de números (u otros elementos) en la que cada término se define en términos de uno o más de sus términos anteriores.

Entender las relaciones de recurrencia implica rastrear cómo evoluciona la secuencia paso a paso y, si es posible, encontrar una fórmula directa para el término n-ésimo, conocida como la solución de forma cerrada. Veamos estos conceptos paso a paso, explorando sus propiedades, los diferentes tipos, formas de resolverlas y sus aplicaciones, con numerosos ejemplos.

Concepto básico

La relación de recurrencia para una secuencia a n es una ecuación que expresa a n en términos de uno o más de sus predecesores, como a n-1, a n-2, ..., etc., así como algunos términos iniciales. La secuencia se genera recursivamente, lo que significa que después de determinar un cierto número de términos iniciales, cada término subsiguiente puede determinarse aplicando la fórmula a los términos anteriores.

Formulación de una relación de recurrencia

Existen varias formas de relaciones de recurrencia, y generalmente se pueden dividir según sus características: orden, linealidad y simetría. El orden de una relación de recurrencia se refiere a cuántos términos anteriores se han utilizado. Por ejemplo, una relación de recurrencia es de orden k si a n se expresa como a n-1, a n-2, ..., a nk.

Ejemplos de relaciones de recurrencia

Consideremos uno de los ejemplos más famosos de una relación de recurrencia: la secuencia de Fibonacci. La secuencia comienza con las siguientes condiciones iniciales:

a 0 = 0
a 1 = 1

Y cada término siguiente es la suma de los dos términos anteriores:

a n = a n-1 + a n-2 donde n ≥ 2

Otro ejemplo simple es una secuencia donde cada término es el doble del término anterior:

a 0 = 1
a n = 2 * a n - 1 donde n ≥ 1

Esta secuencia produce los siguientes términos: 1, 2, 4, 8, 16, ..., y procede multiplicando cada término por 2.

Clasificación de relaciones de recurrencia

Las relaciones de recurrencia pueden clasificarse en diferentes categorías basadas en ciertas propiedades:

  • Lineal vs. No lineal: Una relación de recurrencia se dice que es lineal si cada término a nk (para alguna constante k) se multiplica por una constante y no se multiplican términos entre sí. De lo contrario, es no lineal.
  • Homogénea vs. No homogénea: Una relación de recurrencia lineal es homogénea si ninguno de los términos en ella son constantes (los términos dependen de n pero no de la secuencia).
  • Orden: El orden de una relación de recurrencia es el número de términos anteriores a los que está relacionada al definir cada término de la secuencia.

Ejemplos de clasificación

Consideremos los siguientes ejemplos:

a n = 3a n-1 + 4a n-2 (lineal y homogénea de orden 2)
a n = 2a n - 1 + n (lineal y no uniforme)
a n = a n-1 ^2 + a n-2 (no lineal)

Solución de relaciones de recurrencia

Resolver una relación de recurrencia implica encontrar una función, usualmente expresada como n, que dé cualquier término de la secuencia directamente sin necesidad de conocer los términos anteriores. Aquí describimos algunos de los métodos utilizados para resolver relaciones de recurrencia.

Método de reemplazo

El método de sustitución, también llamado "iteración de repeticiones", implica asumir una forma normal y demostrar, a través de la sustitución y la inducción matemática, que es verdadera para todo n.

Para la relación de recurrencia a n = 2a n-1 con el término inicial a 0 = 1, consideraremos una solución de la forma:

a n = 2^n

Por inducción se puede verificar que esta forma satisface la relación de recurrencia y la condición inicial.

Método de la ecuación característica

Este método se utiliza principalmente para relaciones de recurrencia lineales homogéneas. Implica escribir la relación de recurrencia en forma de ecuaciones características.

Considere la recurrencia a n = 5a n-1 - 6a n-2. Asuma una solución de la forma a n = r^n La sustitución da la ecuación característica:

r^2 = 5r - 6

Resolver esta ecuación cuadrática proporcionará las raíces, permitiendo construir una solución general basada en estas raíces.

Función generadora

Las funciones generadoras son útiles para encontrar fórmulas explícitas para secuencias definidas recursivamente. Una función generadora es una serie de potencias formales cuyos coeficientes son los términos de la secuencia.

Para una secuencia dada {a n }, la función generadora se da por:

g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ...

Manipulando esta serie, a menudo podemos obtener una expresión de forma cerrada para an.

Aplicaciones de las relaciones de recurrencia

Las relaciones de recurrencia se utilizan en una variedad de campos y problemas. Se utilizan comúnmente en el diseño y análisis de algoritmos, programación dinámica, modelado financiero y gráficos por computadora. Aquí hay algunas aplicaciones típicas:

  • Análisis de algoritmos: Las relaciones de recurrencia a menudo reflejan la complejidad temporal de los algoritmos recursivos. Por ejemplo, el algoritmo de ordenación por mezcla lleva a la relación de recurrencia T(n) = 2T(n/2) + n.
  • Programación Dinámica: Muchas soluciones de programación dinámica se basan en relaciones de recurrencia. Problemas como la Subsecuencia Común Más Larga, el problema de la Mochila, etc., se resuelven utilizando relaciones de recurrencia.
  • Problemas de conteo: Muchos problemas de conteo utilizan relaciones de recurrencia, como contar el número de árboles binarios con n nodos. Estos se pueden derivar recursivamente y luego resolver para soluciones de forma cerrada.

Ejemplos explicados con soluciones paso a paso

Veamos un ejemplo detallado para comprender completamente cómo se formulan y resuelven las relaciones de recurrencia.

Ejemplo 1: Secuencia de Fibonacci

Previamente introdujimos la secuencia de Fibonacci, que se define como:

a 0 = 0, a 1 = 1
a n = a n-1 + a n-2 donde n ≥ 2

Para resolver esta relación de recurrencia, asumamos una solución característica de la forma a n = r^n Sustituyendo, obtenemos:

r^n = r^(n-1) + r^(n-2)


r^2 = r + 1

Usamos la fórmula cuadrática para resolver la ecuación característica:

r = (1 ± √5) / 2

Llamemos a estas raíces r1 y r2. La solución general a la recurrencia de Fibonacci es una combinación de soluciones para cada raíz:

a n = c 1 r1^n + c 2 r2^n

Usando las condiciones iniciales, determinamos los valores 0, 1 de C 1 y C 2 para la secuencia estándar, llegando así a la forma cerrada conocida.

Ejemplo 2: Recurrencia lineal homogénea

Dada la relación a n = 3a n-1 - 4a n-2 con términos iniciales a 0 = 1, a 1 = 2, resolvemos estableciendo:

r^2 = 3r - 4

Al resolver, obtenemos que r1 = 4, r2 = -1. Por lo tanto, la solución general es:

a n = c 1 4^n + c 2 (-1)^n

Usando las condiciones iniciales, encontramos C 1 y C 2 para hacer coincidir a 0 = 1 y a 1 = 2, lo que genera los términos.

Conclusión

Las relaciones de recurrencia son la columna vertebral en el estudio de secuencias y algoritmos iterativos. Comprenderlas permite modelar procesos complejos de manera simple y obtener soluciones para problemas recursivos. Como se ha visto, son versátiles, con soluciones disponibles a través de varias técnicas como la sustitución, ecuaciones características y funciones generadoras, mostrando su poder y relevancia en varios contextos matemáticos y de aplicaciones del mundo real.


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