Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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La combinatoria es una rama fascinante de las matemáticas que se ocupa de contar, organizar y encontrar patrones en conjuntos. Nos ayuda a entender los principios de permutación, combinación y por qué ocurren ciertos resultados. En las matemáticas discretas, la combinatoria se utiliza ampliamente para resolver problemas en computación, lógica y probabilidad. Este estudio es esencial para entender cómo manejar arreglos y conjuntos complejos de manera eficiente.

Definiciones y principios básicos

A un nivel básico, la combinatoria se ocupa de dos principios de conteo primarios: permutaciones y combinaciones. Estos principios ayudan a determinar la cantidad de formas en las que los objetos pueden ser organizados o seleccionados. Vamos a ver estos conceptos con más detalle.

Permutación

La permutación implica organizar un grupo de objetos en un orden específico. El orden de organización juega un papel importante aquí. Por ejemplo, si tienes tres letras, digamos A, B y C, y quieres organizarlas de todas las maneras posibles, entonces estarás tratando con permutación.

El número de permutaciones de n objetos distintos se da por n! (n factorial), que es el producto de todos los enteros positivos hasta n.

    n!= n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 1

Por ejemplo, las permutaciones del conjunto {A, B, C} son:

  • ABC
  • ACB
  • BAC
  • BCA
  • CAB
  • CBA

Si n es 3 (el número de letras en el conjunto), entonces las permutaciones son: 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

Permutaciones de {A, B, C} {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}

Combinación

A diferencia de las permutaciones, las combinaciones se centran en elegir elementos de un conjunto donde el orden no importa. Por ejemplo, al elegir 2 letras del conjunto {A, B, C}, las combinaciones son AB, AC y BC. La fórmula para las combinaciones es:

    C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)

Aquí, n es el número total de elementos, y r es el número de elementos a elegir.

Por ejemplo, elegir 2 letras de un grupo de 3 letras significa,

    c(3, 2) = 3! / (2! × (3 - 2)!) = 3
Combinación de 2 de {A, B, C} {AB, AC, BC}

Aplicaciones avanzadas

En combinatoria, también exploramos operaciones más complejas que involucran repeticiones, restricciones y variación de objetos.

Permutaciones con repeticiones

A veces, puede que necesites organizar objetos donde se permite la repetición. Si tienes un conjunto de n objetos y necesitas determinar la cantidad de formas de organizarlos con repetición, utilizas la fórmula:

    n^r

Donde n es el número de elementos a elegir, y r es el número que eliges. Por ejemplo, elegir 2 letras de {A, B} con repeticiones:

    2^2 = 4 → AA, AB, BA, BB

Permutaciones con objetos diferenciables

Considera un escenario donde tienes elementos indistinguibles dentro de un conjunto y necesitas determinar el número de arreglos distintos. Por ejemplo, organizar las letras en la palabra "SASSY". Aquí, 'S' y 'S' son indistinguibles, al igual que cualquier otro par de letras 'S' y 'S'.

    n! / (p! × q! × r!)

donde p, q, r, ... son las frecuencias de los elementos indivisibles. Para "SASSY":

    5! / (3! × 1! × 1!) = 20

Combinaciones con repetición

En estos escenarios, seleccionas elementos de un conjunto donde se permite la repetición y el orden no importa. La fórmula utilizada es:

    C(n + r − 1, r)

Por ejemplo, ¿de cuántas maneras puedes elegir dos frutas de manzanas y naranjas si se permiten repeticiones?

    c(2 + 2 - 1, 2) = c(3, 2) = 3

Identidades combinatorias

La combinatoria también incluye identidades y teoremas fascinantes. Una de las identidades famosas es el teorema binomial, que proporciona la expansión de (x + y)^n. El teorema binomial se expresa como:

    (x + y)^n = Σ C(n, k) * x^(n-k) * y^k

Este teorema revela propiedades relacionadas con los coeficientes llamados coeficientes binomiales y demuestra la simetría y el patrón encontrado en el triángulo de Pascal.

Consideremos un ejemplo para (x + y)^3:

    (x + y)^3 = C(3, 0)x^3 + C(3, 1)x^2y + C(3, 2)xy^2 + C(3, 3)y^3
              = 1*x^3 + 3*x^2y + 3*xy^2 + 1*y^3

Teoría de grafos y combinatoria

La combinatoria es fundamental en la teoría de grafos, que es un campo que se ocupa de nodos y aristas mientras encuentra caminos eficientes, subgrafos máximos y analiza propiedades de conectividad. Consideremos un ejemplo básico de encontrar el número de caminos diferentes en una cuadrícula.

Supongamos que quieres ir desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha usando el camino más corto. Tienes que determinar cuántos de esos caminos existen. Este es un ejercicio combinatorio típico donde aplicas combinaciones para determinar la cantidad de formas de organizar movimientos.

Conclusión

La combinatoria es un campo maravilloso de las matemáticas que nos permite resolver problemas que involucran conteo, organización y selección. Sus aplicaciones abarcan muchos campos, incluida la informática, la lógica, la biología y más. A medida que te adentres más en la combinatoria, apreciarás cómo simplifica bellamente los problemas complejos al descomponerlos en partes manejables.


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