微分方程的数值解法

微分方程是描述一个量相对于另一个量如何变化的数学方程。它们在各种科学和工程领域中出现，对于建模现实世界问题具有重要意义。在许多情况下，微分方程的解析解难以找到或无法找到。这时数值方法派上用场。数值方法使用计算算法提供近似解，这些算法更简单且更实用。

在本详细指南中，我们将探讨用于求解微分方程的各种数值方法。我们将深入讨论这些方法的理论，并提供示例和视觉说明以增强理解。

理解微分方程

在深入研究数值方法之前，了解微分方程是什么是很重要的。微分方程涉及一个函数的导数。例如，方程：

dy/dx = f(x, y)

是一个一阶常微分方程 (ODE)，其中 y 是 x 的一个函数，dy/dx 表示它的导数。求解时，要找到满足该方程的函数 y(x)。

相比之下，偏微分方程 (PDEs) 则涉及偏导数和多个变量的函数，例如：

∂u/∂t = c⋅∂²u/∂x²

其中 u 是 x 和 t 的一个函数。

数值方法介绍

数值方法通过使用计算算法逐步求解微分方程。与给出精确答案的解析解不同，数值方法提供估计解，这些估计可以通过细化达到所需的精确度。

在这里，我们将重点介绍一些用于常微分方程（ODEs）的常用数值方法：

欧拉法
改进欧拉法（Heun 法）
龙格-库塔法

欧拉法

欧拉法是最简单的数值方法。它使用一种简单的迭代方法来求解一阶微分方程。已知：

dy/dx = f(x, y) 和 y(x₀) = y₀

欧拉法将下一步的 y 近似为：

yₙ₊₁ = yₙ + h * f(xₙ, yₙ)

其中 h 是步长。这通过在 (xₙ, yₙ) 处的切线方向上向前迈步估计 y。

上面的插图显示了使用欧拉法从点 P₀ 到 P₂ 的逐步转换。

示例：求解 dy/dx = 3x + 2y，初始条件 y(0) = 1，步长 h = 0.1。

Step-1: x₀ = 0, y₀ = 1
f(x₀, y₀) = 3*0 + 2*1 = 2
y₁ = y₀ + h * f(x₀, y₀) = 1 + 0.1 * 2 = 1.2

Step-2: x₁ = 0.1, y₁ = 1.2
f(x₁, y₁) = 3*0.1 + 2*1.2 = 2.7
y₂ = y₁ + h * f(x₁, y₁) = 1.2 + 0.1 * 2.7 = 1.47

通过迭代，可以在所需点近似求解。

改进欧拉法（Heun 法）

改进的欧拉法，也称为 Heun 法，通过考虑平均斜率来改善欧拉的近似。它使用两个步骤：

使用欧拉法预测：ŷₙ₊₁ = yₙ + h * f(xₙ, yₙ)
通过平均斜率修正：yₙ₊₁ = yₙ + (h/2) * (f(xₙ, yₙ) + f(xₙ₊₁, ŷₙ₊₁))

在上图中，红色路径表示使用欧拉法的预测，蓝色修正路径表示使用平均斜率的预测。

示例：求解 dy/dx = x + y，初始条件 y(0) = 1，步长 h = 0.1。

step 1:
预测：ŷ₁ = 1 + 0.1 * (0 + 1) = 1.1
修正：y₁ = 1 + (0.1/2) * ((0+1) + (0.1+1.1)) = 1.105

step 2:
预测：ŷ₂ = 1.105 + 0.1 * (0.1 + 1.105) = 1.2255
修正：y₂ = 1.105 + (0.1/2)*((0.1+1.105) + (0.2+1.2255))=1.23175

通过进行修正，这种方法比简单欧拉大大提高了精确度。

龙格-库塔法

龙格-库塔方法提供了更高阶的近似，其中最流行的是四阶龙格-库塔方法，它在复杂度和精确度之间取得了平衡。

该公式涉及四个中间计算：


k₁ = h * f(xₙ, yₙ)
k₂ = h * f(xₙ + h/2, yₙ + k₁/2)
k₃ = h * f(xₙ + h/2, yₙ + k₂/2)
k₄ = h * f(xₙ + h, yₙ + k₃)
yₙ₊₁ = yₙ + (1/6)*(k₁ + 2*k₂ + 2*k₃ + k₄)

上图显示了龙格-库塔方法如何在中点处评估信息。

示例：求解 dy/dx = 2y - x，初始条件 y(0) = 0.5，步长 h = 0.1。


Step-1:
k₁ = 0.1 * (2*0.5 - 0) = 0.1
k₂ = 0.1 * (2*(0.5 + 0.1/2) - (0 + 0.1/2)) = 0.12
k₃ = 0.1 * (2*(0.5 + 0.12/2) - (0 + 0.1/2)) = 0.122
k₄ = 0.1 * (2*(0.5 + 0.122) - (0 + 0.1)) = 0.144
y₁ = 0.5 + 1/6*(0.1 + 2*0.12 + 2*0.122 + 0.144) ≈ 0.622

四阶龙格-库塔方法在实际计算中非常通用且高效。