微分方程式の数値解法

微分方程式は、ある量が別の量に対してどのように変化するかを記述する数学的方程式です。それは、様々な科学および工学の分野で出現し、現実世界の問題をモデル化するために重要です。多くの場合、微分方程式の解析解を求めることは難しいか不可能です。このような場合に数値法が登場します。これらは、計算アルゴリズムを使用して近似解を提供し、実装がより簡単で実用的なことがあります。

この詳細なガイドでは、微分方程式を解くための様々な数値法を探ります。これらの手法の理論を深く議論し、理解を深めるための例とビジュアルなイラストを提供します。

微分方程式の理解

数値法に進む前に、微分方程式とは何かを理解することが重要です。微分方程式は関数の導関数を含みます。例えば、以下の方程式：

dy/dx = f(x, y)

は一階常微分方程式（ODE）であり、y は x の関数で、dy/dx はその導関数を表します。この方程式を満たす関数 y(x) を見つけます。

これに対して、偏微分方程式（PDE）は偏導関数といくつかの変数の関数を含みます。例えば：

∂u/∂t = c⋅∂²u/∂x²

ここで u は x と t の両方の関数です。

数値法の導入

数値法は、計算アルゴリズムを使用してステップバイステップで微分方程式を解くのに役立ちます。解析解が正確な答えを与えるのに対し、数値法は推定値を提供し、望ましい精度を達成するために洗練することができます。

ここでは、常微分方程式（ODE）のために広く使用されているいくつかの数値法に焦点を当てます：

オイラー法
改良オイラー法（ホイン法）
ルンゲクッタ法

オイラー法

オイラー法は最も単純な数値法であり、一階微分方程式を解くために簡単な反復的アプローチを使用します。以下が与えられた場合：

dy/dx = f(x, y) および y(x₀) = y₀

オイラー法は次のステップでの y を次のように近似します：

yₙ₊₁ = yₙ + h * f(xₙ, yₙ)

ここで h はステップサイズです。これは (xₙ, yₙ) における接線の方向に小さなステップを踏んで y を推定します。

上のイラストは、オイラー法を使用して点 P₀ から P₂ へのステップバイステップの変換を示しています。

例: dy/dx = 3x + 2y をステップサイズ h = 0.1 で y(0) = 1 で解きます。

Step-1: x₀ = 0, y₀ = 1
f(x₀, y₀) = 3*0 + 2*1 = 2
y₁ = y₀ + h * f(x₀, y₀) = 1 + 0.1 * 2 = 1.2

Step-2: x₁ = 0.1, y₁ = 1.2
f(x₁, y₁) = 3*0.1 + 2*1.2 = 2.7
y₂ = y₁ + h * f(x₁, y₁) = 1.2 + 0.1 * 2.7 = 1.47

反復を通じて、解は望ましい点で近似されることができます。

改良オイラー法（ホイン法）

改良オイラー法、またはホイン法とも呼ばれるこの方法は、平均斜率を考慮することによってオイラーの近似を洗練します。それは2つのステップを使用します：

オイラー法を使用して予測する：ŷₙ₊₁ = yₙ + h * f(xₙ, yₙ)
平均斜率を使用して修正する：yₙ₊₁ = yₙ + (h/2) * (f(xₙ, yₙ) + f(xₙ₊₁, ŷₙ₊₁))

上の図では、道筋はオイラーを用いた予測を表し、修正された道筋は平均斜率を用いた予測を表します。

例: dy/dx = x + y をステップサイズ h = 0.1 で y(0) = 1 で解きます。

step 1:
予測: ŷ₁ = 1 + 0.1 * (0 + 1) = 1.1
修正: y₁ = 1 + (0.1/2) * ((0+1) + (0.1+1.1)) = 1.105

step 2:
予測: ŷ₂ = 1.105 + 0.1 * (0.1 + 1.105) = 1.2255
修正: y₂ = 1.105 + (0.1/2)*((0.1+1.105) + (0.2+1.2255))=1.23175

修正を計算することで、この方法は単純なオイラー法と比較して大幅に精度を向上させます。

ルンゲクッタ法

ルンゲクッタ法は高次の近似を提供し、その中で最も人気があるのが第4次のルンゲクッタ法で、複雑さと精度のバランスが取れています。

この公式は4つの中間計算を含みます：


k₁ = h * f(xₙ, yₙ)
k₂ = h * f(xₙ + h/2, yₙ + k₁/2)
k₃ = h * f(xₙ + h/2, yₙ + k₂/2)
k₄ = h * f(xₙ + h, yₙ + k₃)
yₙ₊₁ = yₙ + (1/6)*(k₁ + 2*k₂ + 2*k₃ + k₄)

上の図は、ルンゲクッタ法が中間点で情報を評価する方法を示しています。

例: dy/dx = 2y - x をステップサイズ h = 0.1 で y(0) = 0.5 で解きます。


Step-1:
k₁ = 0.1 * (2*0.5 - 0) = 0.1
k₂ = 0.1 * (2*(0.5 + 0.1/2) - (0 + 0.1/2)) = 0.12
k₃ = 0.1 * (2*(0.5 + 0.12/2) - (0 + 0.1/2)) = 0.122
k₄ = 0.1 * (2*(0.5 + 0.122) - (0 + 0.1)) = 0.144
y₁ = 0.5 + 1/6*(0.1 + 2*0.12 + 2*0.122 + 0.144) ≈ 0.622

第4次のルンゲクッタ法は、実用的な計算において非常に多用途で効率的です。