Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат → Численные методы ↓


Численное дифференцирование


Численное дифференцирование — важная концепция в численных методах, используемая для оценки производных функций. Во многих случаях, особенно при работе с экспериментальными данными и сложными математическими функциями, невозможно аналитически дифференцировать функции. Численное дифференцирование предоставляет полезные методы, позволяющие оценить эти производные как можно точнее с помощью численных приближений.

Значение дифференцирования

Дифференцирование в математике — это процесс нахождения скорости изменения функции в заданной точке. Эта концепция является важной в таких областях, как физика, инженерия и экономика, где часто необходимо понимать, как одна переменная изменяется относительно другой.

Производная функции предоставляет важные сведения, такие как:

  • Наклон функции в конкретной точке.
  • В физических задачах скорость представляет собой скорость движения.
  • Скорости изменения в экономических моделях.

Аппроксимация производных

Численное дифференцирование позволяет находить производные заданной функции с допустимой погрешностью. Типичные подходы включают различные формы методов конечных разностей. Основная идея заключается в использовании точек данных из функции для оценки производной.

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей является одним из самых простых методов численного дифференцирования. Он использует значения функции в некоторых точках для оценки производной. Простая формула прямой разности определяется как:

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h

где h — небольшой шаг. Хотя эту формулу легко использовать, существуют также более точные альтернативы, такие как формулы обратной и центральной разности.

Обратная разность

Обратная разность оценивает производную, используя значения функции позади интересующей точки:

f'(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h

Центральная разность

Метод центральной разности, считающийся самым точным из простых формул конечных разностей, использует точки по обе стороны от желаемого значения:

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)

Этот подход обычно предоставляет более точные оценки, поскольку учитывает наклон в точках по обе стороны от x.

Пример: Метод конечных разностей

Рассмотрим функцию f(x) = x^2. Мы хотим вычислить производную при x = 2 с использованием h = 0.1.

Используя формулу прямой разности:

f'(x) ≈ (f(2 + 0.1) - f(2)) / 0.1 = (2.1^2 - 2^2) / 0.1 = (4.41 - 4) / 0.1 = 4.1

Для обратной разности:

f'(x) ≈ (f(2) - f(2 - 0.1)) / 0.1 = (4 - 1.81) / 0.1 = 2.19 / 0.1 = 4.1

Для центральной разности:

f'(x) ≈ (f(2 + 0.1) - f(2 - 0.1)) / 0.2 = (4.41 - 3.61) / 0.2 = 0.8 / 0.2 = 4

Обратите внимание, что центральная разность предоставляет более точную оценку теоретической производной, равной 4.

Ошибка и сходимость

При использовании численного дифференцирования неизбежно возникает проблема ошибок. Ошибка в методах конечных разностей возникает из-за ошибок усечения и ошибок округления. Выбирая правильный размер шага h, эти ошибки можно уменьшить.

Ошибка усечения относится к ошибке, вводимой при усечении бесконечного количества и оценке производной с помощью конечных разностей. Ошибки округления являются результатом ограничений арифметики с плавающей запятой на компьютерах.

Анализ ошибки

Для гладкой и непрерывной функции ошибка в формуле прямой разности может быть выражена как:

Ошибка ≈ - (h/2) * f''(ξ)

где ξ — это некоторая точка в интервале [x, x + h]. Здесь видно, что уменьшение h уменьшает ошибку, но очень малые значения могут привести к неточностям вычислений из-за ошибок округления. Такие компромиссы необходимо тщательно учитывать при выборе h.

Выбор h

Важно выбрать правильное значение h, чтобы минимизировать ошибки. Обычно очень большие значения h увеличивают ошибку усечения, тогда как очень малые значения увеличивают ошибки округления.

Производные высшего порядка

Производные высшего порядка также могут быть рассчитаны с использованием методов численного дифференцирования. Например, вторые производные можно оценить аналогичным образом:

Формула центральной разности для второй производной:

f''(x) ≈ (f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)) / h^2

Это дает оценку кривизны, или того, как скорость изменения функции изменяется в определенной точке.

Пример: Вторая производная

Используя f(x) = x^3 и x = 1, найдите f''(x) с использованием h = 0.1.

f''(x) ≈ (f(1.1) - 2f(1) + f(0.9)) / 0.1^2 = (1.1^3 - 2*1^3 + 0.9^3) / 0.01 = (1.331 - 2 + 0.729) / 0.01 = 0.06 / 0.01 = 6

Точная вторая производная x^3 в точке x = 1 равна 6, что показывает эффективность данного метода.

Применение в реальной жизни

Численное дифференцирование имеет широкое применение во многих аспектах науки и инженерии:

  • Физика: Вычисление скорости и ускорения по данным о положении.
  • Финансы: Моделирование скорости изменения цен или процентных ставок.
  • Биология: Вычисление темпов роста в популяциях или клетках.
  • Инженерия: Вычисление напряжений и деформаций в материалах при анализе вращающихся систем.

Заключение

Численное дифференцирование играет важную роль в оценке производных, когда точные решения недостижимы. Принимая во внимание конечные разности и тщательный выбор размеров шага, можно получить практические оценки с контролируемыми ошибками. Как и в любом численном методе, необходимо понимать его сильные и слабые стороны, чтобы эффективно применять его для решения реальных проблем.


Бакалавриат → 7.3


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (7.2)
Численное интегрирование
следующая (7.4) →
Численные решения дифференциальных уравнений

комментарии 



Численное дифференцирование

https://www.buddymath.com/ug/7.3?bmal=ru