Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario → Métodos numéricos ↓


Algoritmo para encontrar raíces


Los algoritmos para encontrar raíces son una parte esencial de los métodos numéricos en matemáticas. Se utilizan para encontrar soluciones, o "raíces", de ecuaciones donde la función es igual a cero. Es un tema importante en muchos campos científicos y de ingeniería, ya que permite predecir el comportamiento y resolver problemas complejos. El objetivo de los algoritmos de búsqueda de raíces es calcular los valores de x de manera que f(x) = 0, donde f es una función dada.

Introducción a la búsqueda de raíces

Muchos problemas en matemáticas pueden reducirse a encontrar las raíces de ecuaciones. Por ejemplo, resolver la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0 es equivalente a encontrar las raíces de un polinomio cuadrático. Los algoritmos de búsqueda de raíces pueden resolver tanto ecuaciones simples como complejas que no tienen soluciones evidentes.

Las raíces se encuentran comúnmente en funciones continuas, especialmente polinomios, así como funciones trascendentales. Los métodos más comunes para encontrar raíces incluyen el método de bisección, el método de Newton, el método de la secante y el método de iteración de punto fijo.

Entendimiento gráfico

Antes de profundizar en el algoritmo, es útil entender qué significa encontrar la raíz. Considere la función f(x) = x^2 - 4.

x = -2 x = 2 0

El gráfico de f(x) = x^2 - 4 es una parábola. Corta el eje x en el origen x = -2 y x = 2. Estos son los valores de x donde f(x) = 0.

Métodos comunes de búsqueda de raíces

Método de bisección

El método de bisección es uno de los métodos de búsqueda de raíces más simples y confiables. Funciona dividiendo repetidamente un intervalo por la mitad y eligiendo el subintervalo en el que debería estar la raíz. El método asume que la función es continua en el intervalo inicial [a, b] y cambia de signo en el intervalo, es decir, f(a) * f(b) < 0.

El método de bisección involucra los siguientes pasos:

  1. Calcular el punto medio c = (a + b) / 2.
  2. Si f(c) = 0, entonces c es la raíz. De lo contrario, proceda al siguiente paso.
  3. Si f(a) * f(c) < 0, establecer b = c. De lo contrario, establecer a = c.
  4. Repita este proceso hasta que el intervalo sea lo suficientemente pequeño o se alcance un número específico de iteraciones.

El método de bisección es fácil de entender y siempre converge, pero puede ser más lento que otros métodos.

Método de Newton

El método de Newton, también conocido como el método de Newton-Raphson, es un algoritmo de búsqueda de raíces que utiliza tangentes para estimar las raíces de una función. Es rápido y converge cuadráticamente, pero requiere el cálculo de derivadas y puede no converger si la conjetura inicial no está cerca de la solución verdadera.

El método de Newton funciona de esta manera:

  1. Comience con una conjetura inicial x_0.
  2. Calcule la siguiente aproximación usando la fórmula:
    x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
  3. Siga repitiendo el proceso hasta que el valor de x_n esté lo suficientemente cerca del origen, o hasta que se completen un cierto número de iteraciones.

Considere encontrar las raíces de f(x) = x^2 - 4 usando el método de Newton, comenzando con una conjetura inicial x_0 = 3.

f(x) = x^2 - 4 f'(x) = 2x x_0 = 3 x_1 = x_0 - (f(x_0) / f'(x_0)) = 3 - ((3^2 - 4) / (2*3)) = 3 - (5 / 6) = 2.166...

Al continuar este proceso, la raíz convergerá a x = 2.

Método de la secante

El método de la secante es similar al método de Newton, pero no requiere el cálculo de la derivada. Utiliza una secuencia de líneas de secante calculadas iterativamente para estimar el origen.

Los pasos en el método de la secante son los siguientes:

  1. Elija dos aproximaciones iniciales x_0 y x_1.
  2. Calcule la siguiente aproximación usando la fórmula:
    x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})}
  3. Siga repitiendo hasta que se encuentre la raíz, o hasta que se supere el número predeterminado de iteraciones.

El método de la secante puede ser más rápido que el método de bisección, pero puede no converger si las conjeturas iniciales no se eligen con prudencia.

Iteración de punto fijo

La iteración de punto fijo es un método para calcular los puntos fijos de una función. Este método se aplica cuando una función puede reescribirse como x = g(x). Una simple reorganización o transformación de la función original puede proporcionar a menudo la forma deseada para la iteración de punto fijo.

Los pasos de la iteración de punto fijo son los siguientes:

  1. Seleccione una conjetura inicial x_0.
  2. Calcule la siguiente aproximación usando x_{n+1} = g(x_n).
  3. Repita hasta que el valor alcance un cierto punto, o repita por un cierto número de iteraciones.

La iteración de punto fijo es simple de implementar, pero depende en gran medida de la transformación de la ecuación y la elección de la conjetura inicial para su eficiencia y convergencia.

Análisis matemático de los algoritmos de búsqueda de raíces

Cada método de búsqueda de raíces tiene sus ventajas y desventajas particulares. Una buena comprensión de los principios matemáticos involucrados puede ayudar a seleccionar el método más apropiado para diferentes problemas.

Convergencia

La convergencia se refiere al proceso de alcanzar el origen con iteraciones repetidas. Diferentes métodos tienen diferentes velocidades de convergencia y pueden involucrar tasas de convergencia lineales o cuadráticas.

  • Convergencia lineal: El error se reduce aproximadamente en el mismo factor en cada paso. El método de bisección tiene una tasa de convergencia lineal.
  • Convergencia cuadrática: El error se reduce aproximadamente al cuadrado en cada paso. El método de Newton generalmente ofrece convergencia cuadrática, lo que significa que es rápido si la conjetura inicial está cerca de la raíz real y la derivada no disminuye.

Fortaleza

La robustez se refiere a la capacidad de un método para converger desde diferentes puntos de partida o bajo diferentes circunstancias.

  • Método de bisección: es extremadamente robusto ya que solo requiere que la función cambie de signo en un intervalo y se puede ajustar fácilmente.
  • Método de Newton y método de la secante: menos robustos debido a la dependencia de conjeturas iniciales, y en el caso del método de Newton, del cálculo de derivadas.

Aplicaciones y ejemplos

Ejemplo 1: Ecuación cuadrática

Considere resolver la ecuación cuadrática x^2 - 5x + 6 = 0. Sabemos que las raíces son 2 y 3. Para el ejemplo, aplicaremos diferentes métodos de búsqueda de raíces.

f(x) = x^2 - 5x + 6 Método de Bisección: Intervalo inicial [a, b] = [1, 4] Paso 1: c = (1 + 4) / 2 = 2.5 f(2.5) = 2.5^2 - 5*2.5 + 6 = -0.25 Dado que f(1) * f(2.5) < 0, el nuevo intervalo es [1, 2.5] ... Método de Newton: f(x) = x^2 - 5x + 6, f'(x) = 2x - 5 x_0 = 2.5 x_1 = 2.5 - ((2.5^2 - 5*2.5 + 6) / (2*2.5 - 5)) = 2.6667, y así sucesivamente.

Ejemplo 2: Ecuación no polinómica

Considere encontrar las raíces de f(x) = cos(x) - x. Esta ecuación no tiene solución algebraica directa, por lo que los métodos numéricos son útiles.

f(x) = cos(x) - x Método de Bisección: Intervalo inicial [a, b] = [0, 1] Verificar f(a) * f(b) < 0: f(0) = cos(0) - 0 = 1 f(1) = cos(1) - 1 es negativo, por lo que cambia de signo. Paso 1: c = (0 + 1) / 2 = 0.5 f(0.5) es positivo, por lo que el nuevo intervalo es [0.5, 1] ... Método de la Secante: Conjeturas iniciales x_0 = 0.5, x_1 = 0.75 Iterar usando: x_{n+1} = x_n - (f(x_n) * (x_n - x_{n-1})) / (f(x_n) - f(x_{n-1}))

Conclusión

Los algoritmos para encontrar raíces juegan un papel importante en el análisis numérico, proporcionando herramientas para resolver ecuaciones que surgen en una variedad de problemas científicos y de ingeniería. Cada método tiene su propio conjunto de fortalezas y debilidades, lo que los hace adecuados para diferentes tipos de problemas. Es importante entender los principios subyacentes para seleccionar y aplicar eficazmente estos métodos en escenarios prácticos.

Al utilizar propiedades matemáticas como la continuidad y la diferenciación, así como técnicas iterativas, estos algoritmos permiten soluciones computacionales donde las soluciones analíticas podrían no ser posibles. A medida que las técnicas computacionales continúan avanzando, comprender y utilizar estos métodos sigue siendo una habilidad importante tanto para estudiantes como para profesionales.


Universitario → 7.1


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (7)
Métodos numéricos
Siguiente (7.2) →
Integración numérica

Comentarios 



Algoritmo para encontrar raíces

https://www.buddymath.com/ug/7.1?bmal=es