Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат ↓


Вероятность и статистика


Вероятность и статистика - это области математики, которые сосредоточены на изучении неопределенности и анализе данных. Они необходимы почти во всех областях науки, инженерии, экономики и многих других предметах. Понимание этих концепций помогает нам принимать решения и прогнозы на основе данных. Здесь мы подробно исследуем эти идеи, используя примеры, визуальные средства и простые объяснения для прояснения концепций.

Понимание вероятности

Вероятность - это раздел математики, который занимается вероятностью или вероятности наступления определенного события. Это важно для предсказания результатов в условиях неопределенности.

Основные концепции вероятности

Вероятность измеряется на шкале от 0 до 1:

  • Вероятность 0 означает, что событие не произойдет.
  • Вероятность 1 означает, что событие определенно произойдет.

Вероятность события рассчитывается с использованием этой формулы:

Вероятность(Событие) = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество возможных исходов)

Пример: подбрасывание монеты

Когда вы подбрасываете честную монету, есть два возможных исхода: орел или решка. Если вы хотите рассчитать вероятность выпадения орла, используете следующую формулу:

Вероятность(Орел) = 1 / 2 = 0.5
Орел Решка

Вероятность при броске кубика

Рассмотрим кубик с шестью гранями. Каждая грань кубика представляет равновероятный исход. Вероятность определенного числа, например, 3, составит:

Вероятность(Выпадение 3) = 1 / 6 ≈ 0.1667
1 2 3 4 5 6

Продвинутые концепции вероятности

Условная вероятность

Условная вероятность - это вероятность наступления события, при условии, что другое событие уже произошло. Формула имеет вид:

P(A | B) = P(A и B) / P(B)

где P(A | B) - это вероятность наступления события А при условии, что событие B уже произошло.

Пример: вытягивание карты

Представьте, что вы вытягиваете карту из стандартной колоды и знаете, что это красная карта. Вероятность того, что это червь, при условии что это красная карта, равна:

P(Червь | Красная) = P(Червь и Красная) / P(Красная) = 13/52 / 26/52 = 1/2

Теорема Байеса

Теорема Байеса - это фундаментальная концепция вероятности, описывающая вероятность события на основе предварительных знаний о связанных событиях. Она выражается как:

P(A | B) = [P(B | A) * P(A)] / P(B)

Статистика: сбор и анализ данных

Описательная статистика

Описательная статистика суммирует данные. Она предоставляет простые сводки о выборке и измерении. Вот некоторые ключевые концепции:

Среднее

Среднее, или среднее арифметическое, это сумма всех данных, деленная на количество значений:

Среднее = (Сумма всех значений) / (Количество значений)

Медиана

Медиана - это среднее значение в упорядоченном списке от самого маленького до самого большого. Если в списке четное количество наблюдений, медиана - это среднее двух средних чисел.

Мода

Мода - это значение, которое встречается чаще всего в наборе данных. В наборе данных может быть одна мода, несколько мод или отсутствовать вовсе.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение - это мера разброса или вариации данных. Низкое стандартное отклонение означает, что значения близки к среднему, а высокое стандартное отклонение означает, что значения распределены на широком диапазоне.

Инференциальная статистика

Инференциальная статистика - это методы, позволяющие нам использовать выборки для обобщения на популяции, из которых был взят выборок.

Тестирование гипотез

Тестирование гипотез - это метод, использующий статистические доказательства из выборочных данных для оценки истинности гипотезы о параметре популяции. Оно включает основные шаги:

  1. Формулировка нулевой и альтернативной гипотезы.
  2. Выбор уровня значимости.
  3. Расчет статистики теста и p-значения.
  4. Принятие решения о принятии или отклонении нулевой гипотезы.

Доверительный интервал

Доверительный интервал - это диапазон значений, который, вероятно, содержит параметр популяции. Уровень доверия 95% подразумевает, что если бы одно и то же населения было исследовано много раз, истинный параметр находился бы в этом интервале в 95% случаев.

Заключение

Вероятность и статистика предоставляют нам инструменты, необходимые для анализа данных и прогнозирования различных событий. С глубоким пониманием этих концепций вы можете систематически решать проблемы и приходить к более точным выводам.


Бакалавриат → 6


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (5.2.6)
Конформное отображение
следующая (6.1) →
Теория вероятностей

комментарии 



Вероятность и статистика

https://www.buddymath.com/ug/6?bmal=ru