Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Probabilidade e estatística


A probabilidade e a estatística são áreas da matemática que se concentram no estudo da incerteza e na análise de dados. Elas são essenciais para quase todos os campos da ciência, engenharia, economia e muitos outros assuntos. Compreender esses conceitos nos ajuda a tomar decisões e previsões baseadas em dados. Aqui, exploraremos essas ideias em profundidade, usando exemplos, recursos visuais e explicações simples para esclarecer os conceitos.

Entendendo a probabilidade

A probabilidade é o ramo da matemática que trata da possibilidade ou probabilidade de um certo evento ocorrer. É importante para prever resultados em circunstâncias incertas.

Conceitos básicos de probabilidade

A probabilidade é medida em uma escala de 0 a 1:

  • Probabilidade 0 significa que o evento não ocorrerá.
  • Probabilidade 1 significa que o evento definitivamente acontecerá.

A probabilidade de um evento é calculada usando esta fórmula:

Probabilidade(Evento) = (Número de Resultados Favoráveis) / (Número Total de Resultados Possíveis)

Exemplo: lançando uma moeda

Quando você joga uma moeda justa, há dois resultados possíveis: cara ou coroa. Se você quiser calcular a probabilidade de dar cara, você usaria a fórmula seguinte:

Probabilidade(Cara) = 1 / 2 = 0.5
Cara Coroa

Probabilidade ao lançar dados

Vamos considerar um dado de seis lados. Cada face do dado representa um resultado igualmente provável. A probabilidade de um número específico, como 3, aparecer é:

Probabilidade(Lançar um 3) = 1 / 6 ≈ 0.1667
1 2 3 4 5 6

Conceitos avançados de probabilidade

Probabilidade condicional

A probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, desde que outro evento já tenha ocorrido. A fórmula é:

P(A | B) = P(A e B) / P(B)

onde P(A | B) é a probabilidade do evento A ocorrer, dado que o evento B já ocorreu.

Exemplo: sorteio de cartas

Imagine que você tira uma carta de um baralho padrão e sabe que é uma carta vermelha. A probabilidade de que seja um coração, dado que é uma carta vermelha, é:

P(Coração | Vermelha) = P(Coração e Vermelha) / P(Vermelha) = 13/52 / 26/52 = 1/2

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes é um conceito fundamental de probabilidade que descreve a probabilidade de um evento com base no conhecimento prévio de eventos relacionados. É expresso como:

P(A | B) = [P(B | A) * P(A)] / P(B)

Estatísticas: coleta e análise de dados

Estatísticas descritivas

As estatísticas descritivas resumem dados. Elas fornecem resumos simples sobre a amostra e a medição. Aqui estão alguns conceitos-chave:

Média

A média, ou média aritmética, é a soma de todos os pontos de dados dividida pelo número de pontos:

Média = (Soma de todos os valores) / (Número de valores)

Mediana

A mediana é o valor central em uma lista ordenada do menor para o maior. Se a lista tiver um número par de observações, a mediana é a média dos dois números do meio.

Moda

A moda é o valor que aparece com mais frequência em um conjunto de dados. Um conjunto de dados pode ter uma moda, mais de uma moda ou nenhuma moda.

Desvio padrão

O desvio padrão é uma medida da quantidade de variação ou dispersão em um conjunto de valores. Um desvio padrão baixo significa que os valores estão próximos da média, enquanto um desvio padrão alto significa que os valores estão distribuídos em uma ampla gama.

Estatísticas inferenciais

As estatísticas inferenciais são técnicas que nos permitem usar amostras para fazer generalizações sobre as populações das quais as amostras foram retiradas.

Teste de hipótese

O teste de hipótese é um método que usa evidências estatísticas de dados amostrais para estimar a veracidade de uma hipótese sobre um parâmetro populacional. Envolve as seguintes etapas principais:

  1. Formular as hipóteses nula e alternativa.
  2. Selecionar um nível de significância.
  3. Calcular o estatístico de teste e o valor p.
  4. Decidir se aceita ou rejeita a hipótese nula.

Intervalo de confiança

Um intervalo de confiança é um intervalo de valores que provavelmente contém o parâmetro populacional de interesse. Um nível de confiança de 95% implica que se a mesma população fosse amostrada muitas vezes, o verdadeiro parâmetro estaria dentro desse intervalo 95% do tempo.

Conclusão

A probabilidade e a estatística nos fornecem as ferramentas necessárias para analisar dados e fazer previsões sobre vários eventos. Com uma forte compreensão desses conceitos, você pode resolver problemas sistematicamente e chegar a conclusões mais precisas.


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Probabilidade e estatística

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