Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Probabilidad y estadística


La probabilidad y la estadística son áreas de las matemáticas que se centran en el estudio de la incertidumbre y el análisis de datos. Son esenciales para casi todos los campos de la ciencia, la ingeniería, la economía y muchas otras disciplinas. Comprender estos conceptos nos ayuda a tomar decisiones y hacer predicciones basadas en datos. Aquí exploraremos estas ideas en profundidad, utilizando ejemplos, ayudas visuales y explicaciones sencillas para aclarar los conceptos.

Comprensión de la probabilidad

La probabilidad es la rama de las matemáticas que se ocupa de la probabilidad o probabilidad de que ocurra un determinado evento. Es importante para predecir resultados en circunstancias inciertas.

Conceptos básicos de probabilidad

La probabilidad se mide en una escala de 0 a 1:

  • Probabilidad 0 significa que el evento no ocurrirá.
  • Probabilidad 1 significa que el evento definitivamente ocurrirá.

La probabilidad de un evento se calcula utilizando esta fórmula:

Probabilidad(Evento) = (Número de Resultados Favorables) / (Número Total de Resultados Posibles)

Ejemplo: lanzar una moneda

Cuando lanzas una moneda justa, hay dos resultados posibles: cara o cruz. Si deseas calcular la probabilidad de obtener cara, usarías la siguiente fórmula:

Probabilidad(Cara) = 1 / 2 = 0.5
Cara Cruz

Probabilidad al lanzar dados

Consideremos un dado de seis caras. Cada cara del dado representa un resultado igualmente probable. La probabilidad de que salga un número específico, como el 3, es:

Probabilidad(Tirar un 3) = 1 / 6 ≈ 0.1667
1 2 3 4 5 6

Conceptos avanzados de probabilidad

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento, dado que otro evento ya ha ocurrido. La fórmula es:

P(A | B) = P(A y B) / P(B)

donde P(A | B) es la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que el evento B ya ha ocurrido.

Ejemplo: sacar una carta

Imagina que sacas una carta de un mazo estándar y sabes que es una carta roja. La probabilidad de que sea un corazón, dado que es una carta roja, es:

P(Corazón | Rojo) = P(Corazón y Rojo) / P(Rojo) = 13/52 / 26/52 = 1/2

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es un concepto fundamental de la probabilidad que describe la probabilidad de un evento basado en el conocimiento previo de eventos relacionados. Se expresa como:

P(A | B) = [P(B | A) * P(A)] / P(B)

Estadísticas: recopilación y análisis de datos

Estadísticas descriptivas

Las estadísticas descriptivas resumen los datos. Ofrecen resúmenes sencillos sobre la muestra y la medición. Aquí hay algunos conceptos clave:

Media

La media, o promedio, es la suma de todos los puntos de datos dividida por el número de puntos:

Media = (Suma de todos los valores) / (Número de valores)

Mediana

La mediana es el valor medio en una lista ordenada de menor a mayor. Si la lista tiene un número par de observaciones, la mediana es el promedio de los dos números del medio.

Moda

La moda es el valor que aparece con más frecuencia en un conjunto de datos. Un conjunto de datos puede tener una moda, más de una moda o no tener moda.

Desviación estándar

La desviación estándar es una medida de la cantidad de variación o dispersión en un conjunto de valores. Una desviación estándar baja significa que los valores están cerca del promedio, mientras que una desviación estándar alta significa que los valores están distribuidos en un amplio rango.

Estadísticas inferenciales

Las estadísticas inferenciales son técnicas que nos permiten usar muestras para hacer generalizaciones sobre las poblaciones de las que se tomaron las muestras.

Pruebas de hipótesis

Las pruebas de hipótesis son un método que utiliza evidencia estadística de datos muestrales para estimar la verdad de una hipótesis acerca de un parámetro de población. Involucra los pasos principales:

  1. Formular las hipótesis nula y alternativa.
  2. Seleccionar un nivel de significancia.
  3. Calcular el estadístico de prueba y el valor p.
  4. Decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis nula.

Intervalo de confianza

Un intervalo de confianza es un rango de valores que probablemente contiene el parámetro de población de interés. Un nivel de confianza del 95% implica que si la misma población se muestreara muchas veces, el parámetro verdadero estaría dentro de este intervalo el 95% del tiempo.

Conclusión

La probabilidad y la estadística nos proporcionan las herramientas necesarias para analizar datos y hacer predicciones sobre diversos eventos. Con una sólida comprensión de estos conceptos, puedes resolver problemas de manera sistemática y llegar a conclusiones más precisas.


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