Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Estatística inferencial


Estatística inferencial é um ramo da estatística que trata de tirar conclusões sobre uma população com base em uma amostra. Quando coletamos dados, geralmente coletamos dados de uma amostra em vez de toda a população devido a restrições práticas como custo, tempo e esforço. A estatística inferencial nos permite fazer previsões ou inferências sobre a população analisando esses dados da amostra.

Compreendendo o básico

Para entender a estatística inferencial, precisamos estar claros sobre alguns conceitos básicos: população e amostra.

  • População: Este é o grupo inteiro de pessoas, objetos ou eventos nos quais estamos interessados. Por exemplo, se estamos estudando a altura média dos estudantes universitários, nossa população consiste em todos os estudantes universitários.
  • Amostra: Um subconjunto da população que é realmente observado ou coletado para estudo. Em nosso exemplo, isso poderia ser um grupo de 100 estudantes universitários selecionados aleatoriamente.

A estatística inferencial vai além de simplesmente descrever as propriedades de uma amostra (estatística descritiva). Ela usa a teoria da probabilidade para estimar parâmetros da população, testar hipóteses e fazer previsões.

Exemplo de população e amostra

No SVG acima, imagine que cada círculo representa um indivíduo na população. O círculo vermelho é uma amostra selecionada da população.

Procedimentos principais na estatística inferencial

Existem dois procedimentos principais utilizados na estatística inferencial:

  • Estimativa: Isso envolve estimar parâmetros da população (como a média ou proporção) a partir de estatísticas da amostra. Por exemplo, se quisermos estimar a altura média de todos os estudantes universitários, calculamos a altura média de nossa amostra e a usamos como estimador.
  • Teste de hipótese: Isso envolve fazer uma declaração ou hipótese sobre um parâmetro da população e depois usar dados da amostra para testar essa declaração. Por exemplo, podemos hipotetizar que a altura média dos estudantes universitários é 170 cm e testar essa hipótese usando dados da amostra.

Exemplo de estimativa

Suponha que selecionemos uma amostra de 100 estudantes e encontremos que a altura média deles é de 168 cm. Esta média amostral (168 cm) é usada para estimar a média populacional. Nós a representamos da seguinte forma:

Média Populacional Estimada = Média Amostral = 168 cm

Exemplo de teste de hipótese

Suponha que hipotetizamos que a altura média dos estudantes universitários é 170 cm. Coletamos uma amostra e calculamos a altura média para ser 168 cm. Com base nesses dados, a estatística inferencial nos ajudará a decidir se devemos aceitar ou rejeitar nossa hipótese.

Tipos de avaliações

Existem dois tipos de inferência na estatística inferencial:

  • Estimativa pontual: Fornece um único valor como uma estimativa de um parâmetro da população. Por exemplo, usar uma média amostral de 168 cm como estimativa da média populacional.
  • Estimativa intervalar: Fornece um intervalo de valores, chamado de intervalo de confiança, dentro do qual se espera que o parâmetro da população esteja. Por exemplo, estimar que a altura média esteja entre 165 cm e 171 cm com um nível de confiança de 95%.

Exemplo de intervalo de confiança

Com base em nossa amostra de 100 estudantes com uma altura média de 168 cm, suponha que calculamos o intervalo de confiança de 95% para a média populacional de 165 cm a 171 cm:

Intervalo de Confiança: (165 cm, 171 cm)

Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira altura média de todos os estudantes universitários está dentro deste intervalo.

Elementos do teste de hipóteses

Ao conduzir testes de hipóteses, seguimos os seguintes passos:

  • Formular a hipótese:

A hipótese nula (H0) representa nenhuma efeito ou diferença, enquanto a hipótese alternativa (H1) representa o efeito ou diferença que queremos testar.

H0: A altura média populacional é 170 cm.
H1: A altura média populacional não é 170 cm.
  • Escolher um nível de significância (α): Geralmente escolhido como 5% (0,05), essa é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é realmente verdadeira.
  • Cálculo dos estatísticos de teste: Dependendo dos dados coletados e do tipo de teste realizado (por exemplo, t-test, z-test).
  • Tomar uma decisão: Comparar o estatístico de teste com o valor crítico ou usar o valor-p para decidir se rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula.

Tornando visíveis as decisões de teste com hipóteses nulas e alternativas

Rejeitar H0 Rejeitar H0 Falha ao rejeitar H0

Valor-p no teste de hipóteses

O valor-p é um conceito importante no teste de hipóteses. Ele é a probabilidade de obter resultados de teste pelo menos tão extremos quanto os resultados observados, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Quanto menor o valor-p, mais forte é a evidência contra a hipótese nula. Se o valor-p é menor ou igual ao nível de significância (α), rejeitamos a hipótese nula.

Exemplo de valor-p

Imagine calcular um valor-p de 0,03 para o nosso teste de hipótese de altura:

valor-p = 0,03

Como 0,03 < 0,05 (nosso α escolhido é 0,05), rejeitamos a hipótese nula e sugerimos que a altura média não é 170 cm.

Testes de normalidade na estatística inferencial

Existem vários testes comuns na estatística inferencial para abordar diferentes tipos de dados e questões de pesquisa:

  • T-teste: Usado para comparar as médias de dois grupos. Por exemplo, comparando as alturas médias de estudantes universitários do sexo feminino e masculino.
  • Z-teste: É usado quando o tamanho da amostra é grande (n > 30) e a variância da população é conhecida ou ao comparar proporções.
  • Teste qui-quadrado: Usado para comparar variáveis categóricas. Por exemplo, para ver se a preferência dos estudantes universitários por uma matéria é independente do seu ano de estudo.
  • ANOVA (Análise de Variância): Usado para comparar as médias de mais de dois grupos. Por exemplo, comparando as alturas de estudantes de diferentes áreas de estudo.

Exemplo de T-teste

Vamos realizar um t-teste para comparar as alturas de estudantes do sexo masculino e feminino. Suponha que nossa amostra mostre o seguinte:

Estudantes do sexo masculino: altura média = 175 cm, tamanho da amostra = 50
Estudantes do sexo feminino: altura média = 165 cm, tamanho da amostra = 50

Nós usamos um t-teste para determinar se a diferença observada é estatisticamente significativa.

O papel da amostragem aleatória

Uma parte importante da estatística inferencial é garantir que as amostras sejam selecionadas aleatoriamente. A amostragem aleatória ajuda a garantir que cada pessoa tenha uma chance igual de ser selecionada, o que reduz o viés e melhora a validade dos resultados. Amostras aleatórias representam a população inteira, tornando as estimativas mais precisas.

No SVG acima, a cor vermelha representa amostras selecionadas aleatoriamente do grupo inteiro de indivíduos azuis.

Conclusão

A estatística inferencial é um aspecto essencial da análise de dados. Ela permite que estatísticos tirem conclusões baseadas em dados sobre grandes populações com base em dados de amostras pequenas e manejáveis. Estimando cuidadosamente os parâmetros da população e realizando testes de hipóteses, podemos responder a perguntas sobre tendências, relacionamentos e previsões de dados. Além disso, um entendimento e aplicação adequados de conceitos como distribuições amostrais, intervalos de confiança e valores-p são cruciais para tirar conclusões precisas por meio da análise estatística.

Palavras comumente usadas

  • População: O grupo inteiro sendo estudado.
  • Amostra: Um subconjunto de uma população que é usado para obter informações sobre o grupo inteiro.
  • Parâmetro: Uma característica numérica de uma população.
  • Estatísticas: Características numéricas de uma amostra.

A estatística inferencial é poderosa porque transforma observações baseadas em amostras em generalizações ou previsões sobre populações maiores e influencia decisões cotidianas em muitos campos, como ciência, negócios e políticas públicas.


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