प्रायिकता सिद्धांत

प्रायिकता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक घटनाओं के विश्लेषण से संबंधित है। प्रायिकता का मुख्य विचार किसी घटना के घटित होने की संभावना को मापना है। प्रायिकता को समझकर, हम भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं, जोखिमों का आकलन कर सकते हैं और विभिन्न घटनाओं के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

आइए कुछ मौलिक अवधारणाओं को समझकर प्रायिकता सिद्धांत की अपनी खोज शुरू करें।

प्रायिकता क्या है?

प्रायिकता घटनाओं की अनिश्चितता को मापती है। यह एक संख्यात्मक माप प्रदान करती है, जो 0 से 1 तक होती है, जो किसी निश्चित घटना के घटित होने की संभावना का वर्णन करती है। हम प्रायिकता की अवधारणा का उपयोग कई वास्तविक दुनिया की स्थितियों में करते हैं, जैसे मौसम पूर्वानुमान, जुआ, बीमा नीतियां, और निर्णय लेने की प्रक्रियाएं।

प्रायिकता की एक सरल परिभाषा यहाँ दी गई है:

P(घटना) = (अनुकूल घटनाओं की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

उदाहरण के लिए, छह पक्षों वाले पासे फेंकने पर विचार करें। किसी विशेष संख्या, जैसे 3, के आने की प्रायिकता है:

P(3 रोल करें) = 1/6

मूल शब्दावली

प्रायिकता सिद्धांत को बेहतर ढंग से समझने के लिए हमें कुछ मूल शब्दावली से परिचित होना चाहिए:

उपयोग

एक प्रयोग वह कार्रवाई या प्रक्रिया है जो एक या अधिक परिणाम उत्पन्न करती है। सामान्य उदाहरण हैं: सिक्का उछालना, पासा फेंकना, या एक डेक से एक कार्ड निकालना।

परिणाम

परिणाम किसी प्रयोग का परिणाम होता है, जैसे सिक्का उछालने पर हेड्स प्राप्त करना।

नमूना स्थान

नमूना स्थान, जिसे आमतौर पर S द्वारा निरूपित किया जाता है, किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का सेट होता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने में, नमूना स्थान है S = {'हेड्स', 'टेल्स'}।

घटनाएँ

घटना नमूना स्थान का एक उपसमुच्चय होती है। इसमें एक या अधिक परिणाम शामिल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, पासा फेंकते समय सम संख्या प्राप्त करना एक घटना है जिसमें परिणाम {2, 4, 6} शामिल हैं।

घटनाओं के प्रकार

प्रायिकता में विभिन्न प्रकार की घटनाएँ होती हैं:

सरल घटना

एक सरल घटना में केवल एक परिणाम होता है। उदाहरण: पासा पर 4 आता है।

मिश्रित घटना

एक यौगिक घटना दो या दो से अधिक सरल घटनाओं का संयोजन होती है। उदाहरण: सम संख्या प्राप्त करना और 4 से अधिक संख्या प्राप्त करना।

निश्चित घटना

एक घटना जो निश्चित रूप से होगी। उदाहरण: पासा पर 1 और 6 के बीच की संख्या आएगी।

असंभव घटना

एक घटना जो नहीं हो सकती। उदाहरण: छह पक्षों वाले पासे पर 7 लाना।

परस्पर अनन्य घटनाएँ

घटनाएँ जो एक ही समय पर नहीं हो सकतीं। उदाहरण: एक ही सिक्का उछालने पर हेड्स और टेल्स।

स्वतंत्र घटनाएँ

दो घटनाएं स्वतंत्र होती हैं यदि एक के घटित होने से दूसरे की प्रायिकता प्रभावित नहीं होती है। उदाहरण: सिक्का उछालना और पासा फेंकना।

उदाहरणों के साथ प्रायिकता को समझना

आइए कुछ उदाहरणों के माध्यम से गणितीय रूप से प्रायिकता कैसे काम करती है, इसे समझें:

उदाहरण 1: सिक्का उछालना

आपके पास एक निष्पक्ष सिक्का है, और आप यह जानना चाहते हैं कि जब आप इसे उछालेंगे तो हेड्स प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी।

नमूना स्थान: S = {'हेड्स', 'टेल्स'}

हेड्स प्राप्त करने की प्रायिकता इस प्रकार गणना की जाती है:

P(हेड्स) = हेड्स के साथ परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या = 1/2

उदाहरण 2: पासा फेंकना

अब, आपके पास एक छह पक्षों वाला पासा है, और आप यह जानना चाहते हैं कि 4 से अधिक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी।

नमूना स्थान: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

जब 4 से अधिक संख्या आती है, तो अनुकूल परिणाम 5 और 6 होते हैं।

अनुकूल परिणामों की संख्या = 2 (5 और 6)
कुल परिणामों की संख्या = 6
P(संख्या > 4) = 2/6 = 1/3

प्रायिकता के नियम

प्रायिकता सिद्धांत कुछ आवश्यक नियमों द्वारा संचालित है जो हमें विभिन्न स्थितियों में प्रायिकता की गणना करने में मदद करते हैं।

नियम 1: सभी प्रायिकताओं का योग

नमूना स्थान में सभी संभव परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

P(परिणाम 1) + P(परिणाम 2) + ... + P(परिणाम n) = 1

छह-पक्षीय पासे के लिए, नियम इस प्रकार सत्यापित किया जाता है:

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

नियम 2: किसी घटना के नहीं होने की प्रायिकता

किसी घटना के नहीं होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता से 1 घटाकर प्राप्त की जाती है।

P(नहीं A) = 1 - P(A)

उदाहरण: पासे पर 6 नहीं मिलने की प्रायिकता:

P(6) = 1/6
P(नहीं 6) = 1 - P(6) = 5/6

नियम 3: योग नियम

किसी भी दो घटनाओं A और B के लिए, A या B के घटित होने की प्रायिकता है:

P(A या B) = P(A) + P(B) – P(A और B)

यह नियम यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक प्रायिकता की गणना केवल एक बार की जाए, भले ही घटनाएं ओवरलैप हों।

नियम 4: गुणन नियम

स्वतंत्र घटनाओं A और B के लिए, A और B दोनों के घटित होने की प्रायिकता है:

P(A और B) = P(A) * P(B)

शर्तीय प्रायिकता

शर्तीय प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता होती है, बशर्ते कि कोई अन्य घटना पहले ही घट चुकी हो। इसे P(A|B) द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसे "B दिए जाने पर A की प्रायिकता" के रूप में पढ़ा जाता है।

शर्तीय प्रायिकता का सूत्र है:

P(A|B) = P(A और B) / P(B)

शर्तीय प्रायिकता का उपयोग मुख्य रूप से उन परिदृश्यों में किया जाता है जहां घटनाएं एक-दूसरे पर निर्भर होती हैं।

उदाहरण: शर्तीय प्रायिकता

मान लीजिए कि आप 52 कार्डों के एक मानक डेक से एक कार्ड निकालते हैं। आप यह जानने में रुचि रखते हैं कि खींचा गया कार्ड किंग है, यह दी गई जानकारी है कि खींचा गया कार्ड इक्का है।

कुल कार्ड: 52

इक्के: 13 (क्योंकि प्रत्येक सूट में 13 कार्ड होते हैं)

इक्कों का किंग: इक्कों में केवल एक ही किंग होता है।

P(किंग | इक्के) = P(किंग और इक्का) / P(इक्का)
P(किंग और इक्का) = 1/52
P(इक्का) = 13/52
P(किंग | इक्का) = (1/52) / (13/52) = 1/13

बेयेस प्रमेय

बेयेस प्रमेय प्रायिकता में एक शक्तिशाली परिणाम होता है जो दो घटनाओं की शर्तीय प्रायिकता को जोड़ता है। यह हमें साक्ष्य दिए जाने पर परिकल्पनाओं की प्रायिकताओं को अद्यतन करने का तरीका बताता है।

बेयेस प्रमेय सूत्र:

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

यह प्रमेय सांख्यिकी, वित्त, और मशीन लर्निंग सहित कई क्षेत्रों में मौलिक है।

उदाहरण: बेयेस प्रमेय का उपयोग

दो बक्सों पर विचार करें। बॉक्स 1 में 3 लाल बॉल और 1 हरी बॉल है, और बॉक्स में

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