期望和方差

介绍

在概率和统计领域，了解随机事件的行为是非常重要的。帮助我们理解这些行为的两个基本概念是“期望”或“期望值”和“方差”。这些概念使我们能够总结随机变量的特征，随机变量是指可能值为随机事件的数值结果的变量。

期望：期望值

期望值，通常表示为E(X)，是概率中的核心概念。它代表了随机实验重复多次后可能预期的平均结果。可以将其视为随机变量所有可能值的“加权平均”，其中每个可能值根据其发生概率加权。

要计算离散随机变量X的期望值，可以使用公式：

E(X) = Σ [x * P(x)]

这里，x代表X的每个可能值，P(x)是X等于x的概率。对于连续随机变量，该公式涉及积分而不是求和。

示例1：掷公正的骰子

让我们考虑掷一个公正的六面骰子的简单例子。随机变量X代表骰子的结果，其可能值为1、2、3、4、5和6，每个值的概率为1/6。该随机变量的期望值计算如下：

E(X) = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6)

解此问题，我们得到期望值：

E(X) = 3.5

尽管不能期望掷一个骰子正好是3.5，但此值代表了掷多个骰子时预期的“平均”结果。

示例2：连续随机变量的期望

对于连续随机变量，其期望值是通过积分计算的。假设我们有一个概率密度函数（PDF）f(x)。期望值由以下公式给出：

E(X) = ∫ x * f(x) dx

假设X在区间[a, b]上服从均匀分布。PDF为f(x) = 1 / (b - a)。期望值为：

E(X) = ∫ (x / (ba)) dx, from a to b

结果为：

E(X) = (b + a) / 2

方差：衡量变异性

虽然期望值给出了一个点估计，但并不能说明围绕该平均值的变异性有多大。方差则是随机变量可能值分布或变异性的一种度量。

随机变量X的方差表示为Var(X)或σ²，定义为X相对于其期望值的平方偏差的期望。方差的公式为：

Var(X) = E[(X - E(X))²]

让我们分解这个公式：

首先，计算期望值E(X)。
然后，找出每个值x_i与E(X)的偏差，即x_i - E(X)。
将这些偏差平方以确保它们是非负的。
将每个平方偏差乘以其概率P(x_i)。
求这些加权平方偏差的和以得到Var(X)。

示例3：掷骰子的方差

使用前面的掷六面骰子的例子，来找出方差。

回忆E(X) = 3.5。方差的计算如下：

Var(X) = (1 - 3.5)² * (1/6) + (2 - 3.5)² * (1/6) + ... + (6 - 3.5)² * (1/6)

评估结果如下：

Var(X) = 17.5 / 6 ≈ 2.92

此方差值给出了骰子结果围绕期望值3.5的“分散”程度。

示例4：连续随机变量的方差

对于连续随机变量，方差由以下公式给出：

Var(X) = ∫ (x - E(X))² * f(x) dx

假设X如前面的例子一样服从均匀分布，已知E(X) = (b+a)/2。方差为：

Var(X) = ∫ [(x - (b+a)/2)² * f(x)] dx, from a to b