Ожидание и вариация

Введение

В мире вероятностей и статистики важно понимать, как ведут себя случайные события. Два фундаментальных понятия, которые помогают нам понять эти поведения — это "ожидание" или "математическое ожидание" и "дисперсия". Эти понятия позволяют нам обобщать характеристики случайных величин, которые представляют собой переменные, чьи возможные значения являются числовыми результатами случайного события.

Ожидание: математическое ожидание

Математическое ожидание, часто обозначаемое как E(X), является центральным понятием в теории вероятностей. Оно представляет собой средний результат, который можно ожидать от случайного эксперимента, если его повторить много раз. Думайте об этом как о "взвешенном среднем" всех возможных значений случайной величины, где каждое возможное значение взвешено в соответствии с вероятностью его возникновения.

Чтобы вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины X, используйте формулу:

E(X) = Σ [x * P(x)]

Здесь x представляет каждое возможное значение X, а P(x) — вероятность того, что X равно x. Для непрерывных случайных величин формула включает интегрирование, а не суммирование.

Пример 1: Бросание справедливого кубика

Рассмотрим простой пример бросания справедливого шестигранного кубика. Случайная величина X представляет собой результат броска кубика, и ее возможные значения — 1, 2, 3, 4, 5 и 6, каждое с вероятностью 1/6. Математическое ожидание этой случайной величины рассчитывается следующим образом:

E(X) = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6)

Решая это, мы получаем математическое ожидание:

E(X) = 3.5

Хотя от кубика нельзя ожидать, что он будет давать результат ровно 3.5, это значение представляет собой "средний" результат, который вы ожидаете получить при броске множества кубиков.

Пример 2: Ожидание непрерывной случайной величины

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание вычисляется с использованием интеграла. Допустим, у нас есть случайная величина X с функцией плотности вероятности (PDF) f(x). Математическое ожидание задается формулой:

E(X) = ∫ x * f(x) dx

Предположим, что X имеет равномерное распределение на интервале [a, b]. Функция плотности вероятности f(x) = 1 / (b - a). Математическое ожидание:

E(X) = ∫ (x / (ba)) dx, от a до b

это приводит к:

E(X) = (b + a) / 2

Дисперсия: Измерение изменчивости

Хотя математическое ожидание дает нам точечную оценку, оно не показывает, насколько велика изменчивость вокруг этого среднего. Дисперсия является мерой этого разброса или изменчивости возможных значений случайной величины.

Дисперсия случайной величины X, обозначаемая как Var(X) или σ², определяется как ожидание квадрата отклонения X от его математического ожидания. Формула для дисперсии выглядит так:

Var(X) = E[(X - E(X))²]

Разберем эту формулу:

• Сначала вычислите математическое ожидание E(X).
• Затем найдите отклонение каждого значения x_i от E(X), что равно x_i - E(X).
• Возведите эти отклонения в квадрат, чтобы они были неотрицательными.
• Умножьте каждое квадратное отклонение на его вероятность P(x_i).
• Сложите эти взвешенные квадратные отклонения, чтобы получить Var(X).

Пример 3: Дисперсия бросания кубика

Используя предыдущий пример бросания шестигранного кубика, найдем дисперсию.

Напомним, что E(X) = 3.5. Дисперсия будет вычисляться следующим образом:

Var(X) = (1 - 3.5)² * (1/6) + (2 - 3.5)² * (1/6) + ... + (6 - 3.5)² * (1/6)

Ее оценка следующая:

Var(X) = 17.5 / 6 ≈ 2.92

Это значение дисперсии дает нам представление о том, насколько "разбросаны" результаты бросков кубика вокруг математического ожидания 3.5.

Пример 4: Дисперсия непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины дисперсия задается:

Var(X) = ∫ (x - E(X))² * f(x) dx

Предположим, что X распределено равномерно, как и в предыдущем примере, и мы уже нашли E(X) = (b+a)/2. Дисперсия выглядит так:

Var(X) = ∫ [(x - (b+a)/2)² * f(x)] dx, от a до b

Свойства ожидания и дисперсии

Свойства ожидания

• Линейность: Оператор ожидания является линейным, то есть, если a и b — константы, то E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), где X и Y — случайные величины.
• Ожидание константы: Для константы c E(c) = c.
• Сумма случайных величин: Если X и Y — случайные величины, то E(X+Y) = E(X) + E(Y).

Свойства дисперсии

• Дисперсия константы: Дисперсия константы равна нулю, так как она не изменяется.
• Аддитивное свойство: Если X и Y — независимые случайные величины, Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)
• Масштабирование: Var(aX) = a²Var(X) где a — константа.

Заключение

Ожидание и дисперсия являются фундаментальными понятиями в теории вероятностей и статистике. Они предоставляют способ обобщения и понимания случайных величин. В то время как ожидание показывает, каков "средний" результат, дисперсия дает нам представление о том, насколько велика изменчивость ожидаемого среднего значения. Овладение этими понятиями важно для каждого, кто хочет углубиться в области, связанные с вероятностями и статистикой.

комментарии