Expectativa e variação

Introdução

No mundo da probabilidade e estatística, é importante entender como os eventos aleatórios se comportam. Dois conceitos fundamentais que nos ajudam a entender esses comportamentos são "expectativa" ou "valor esperado" e "variância". Esses conceitos nos permitem resumir as características das variáveis aleatórias, que são variáveis cujos valores possíveis são os resultados numéricos de um evento aleatório.

Expectativa: valor esperado

O valor esperado, frequentemente denotado como E(X), é um conceito central em probabilidade. Ele representa o resultado médio que se pode esperar de um experimento aleatório se ele fosse repetido muitas vezes. Pense nele como uma "média ponderada" de todos os valores possíveis da variável aleatória, onde cada valor possível é ponderado de acordo com sua probabilidade de ocorrer.

Para calcular o valor esperado de uma variável aleatória discreta X, você usa a fórmula:

E(X) = Σ [x * P(x)]

Aqui, x representa cada valor possível de X, e P(x) é a probabilidade de que X seja igual a x. Para as variáveis aleatórias contínuas, a fórmula envolve uma integral, em vez de uma soma.

Exemplo 1: Lançando dados justos

Vamos considerar um exemplo simples de jogar um dado justo de seis lados. A variável aleatória X representa o resultado do lançamento do dado, e seus valores possíveis são 1, 2, 3, 4, 5, e 6, cada um com uma probabilidade de 1/6. O valor esperado dessa variável aleatória é calculado da seguinte forma:

E(X) = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6)

Resolvendo isso, obtemos o valor esperado:

E(X) = 3.5

Embora você não possa esperar que um dado role exatamente 3,5, esse valor representa o "resultado médio" que você esperaria ao lançar vários dados.

Exemplo 2: Expectativa de uma variável aleatória contínua

Para variáveis aleatórias contínuas, o valor esperado é calculado usando uma integral. Suponhamos que temos uma variável aleatória X com uma função de densidade de probabilidade (PDF) f(x). O valor esperado é dado pela fórmula:

E(X) = ∫ x * f(x) dx

Assuma que X segue uma distribuição uniforme no intervalo [a, b]. O PDF é f(x) = 1 / (b - a). O valor esperado é:

E(X) = ∫ (x / (ba)) dx, de a até b

isso resulta em:

E(X) = (b + a) / 2

Variância: Medindo a variabilidade

Enquanto o valor esperado nos dá uma estimativa pontual, ele não nos diz quanta variabilidade existe em torno dessa média. A variância é uma medida dessa dispersão ou variabilidade nos valores possíveis de uma variável aleatória.

A variância de uma variável aleatória X, denotada como Var(X) ou σ², é definida como a expectativa do desvio quadrado de X do seu valor esperado. A fórmula para a variância é:

Var(X) = E[(X - E(X))²]

Vamos decompor essa fórmula:

• Primeiro, calcule o valor esperado E(X).
• Em seguida, encontre o desvio de cada valor x_i de E(X), que é x_i - E(X).
• Eleve ao quadrado esses desvios para garantir que sejam não negativos.
• Multiplique cada desvio ao quadrado por sua probabilidade P(x_i).
• Some esses desvios ao quadrado ponderados para obter Var(X).

Exemplo 3: Variância de jogar um dado

Usando o exemplo anterior de jogar um dado de seis lados, vamos encontrar a variância.

Lembre-se E(X) = 3.5. A variância seria calculada da seguinte forma:

Var(X) = (1 - 3.5)² * (1/6) + (2 - 3.5)² * (1/6) + ... + (6 - 3.5)² * (1/6)

Sua avaliação é a seguinte:

Var(X) = 17.5 / 6 ≈ 2.92

Esse valor de variância nos fornece uma medida de quão "espalhados" os resultados dos dados são em torno do valor esperado de 3,5.

Exemplo 4: Variância de uma variável aleatória contínua

Para uma variável aleatória contínua, a variância é dada por:

Var(X) = ∫ (x - E(X))² * f(x) dx

Assumindo que X é uniformemente distribuído como no exemplo anterior, já encontramos E(X) = (b+a)/2. A variância é:

Var(X) = ∫ [(x - (b+a)/2)² * f(x)] dx, de a até b

Propriedades da expectativa e variância

Propriedades da expectativa

• Linearidade: O operador esperado é linear, ou seja, se a e b são constantes, então E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), onde X e Y são variáveis aleatórias.
• Expectativa de uma constante: Para uma constante c, E(c) = c.
• Soma de variáveis aleatórias: Se X e Y são variáveis aleatórias, então E(X+Y) = E(X) + E(Y).

Propriedades da variância

• Variância de uma constante: A variância de uma constante é zero porque ela não varia.
• Propriedade aditiva: Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)
• Escalonamento: Var(aX) = a²Var(X) onde a é uma constante.

Conclusão

Expectativa e variância são conceitos fundamentais em probabilidade e estatística. Eles fornecem uma maneira de resumir e entender variáveis aleatórias. Enquanto a expectativa nos diz qual é o resultado "médio", a variância nos dá uma ideia de quanta variabilidade deve ser esperada a partir dessa média. Dominar esses conceitos é importante para qualquer pessoa que queira se aprofundar em áreas relacionadas à probabilidade e estatística.

Comentários