अपेक्षा और भिन्नता

परिचय

संभाव्यता और सांख्यिकी की दुनिया में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि यादृच्छिक घटनाएं कैसे व्यवहार करती हैं। दो मौलिक अवधारणाएँ जो हमें इन व्यवहारों को समझने में मदद करती हैं, वे हैं "अपेक्षा" या "अपेक्षित मूल्य" और "विचरण"। ये अवधारणाएँ हमें यादृच्छिक चरों की विशेषताओं का सारांश प्रस्तुत करने की अनुमति देती हैं, जिनकी संभावित मान यादृच्छिक घटना के संख्यात्मक परिणाम होते हैं।

अपेक्षा: अपेक्षित मूल्य

अपेक्षित मूल्य, जिसे अक्सर E(X) के रूप में दर्शाया जाता है, संभावना का एक केंद्रीय अवधारणा है। यह औसत परिणाम का प्रतिनिधित्व करती है जिसकी आप एक यादृच्छिक प्रयोग से अपेक्षा कर सकते हैं यदि इसे कई बार दोहराया जाए। इसे सभी संभावित मानों के "भारित औसत" के रूप में सोचें, जहां हर संभावित मूल्य को उसके घटित होने की संभावना के अनुसार भारित किया जाता है।

डिस्क्रीट रैंडम वेरिएबल X का अपेक्षित मूल्य निकालने के लिए आप यह सूत्र उपयोग करते हैं:

E(X) = Σ [x * P(x)]

यहां, x X के प्रत्येक संभावित मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, और P(x) वह संभावना है कि X x के बराबर है। सतत रैंडम वेरिएबल्स के लिए, सूत्र में जोड़ के स्थान पर एक इंटीग्रेशन शामिल होता है।

उदाहरण 1: निष्पक्ष पासा फेंकना

आइए निष्पक्ष छह-पक्षीय पासा फेंकने का एक सरल उदाहरण विचार करें। रैंडम वेरिएबल X पासा फेंकने के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है, और इसके संभावित मान 1, 2, 3, 4, 5, और 6 हैं, हर एक के साथ 1/6 की संभावना। इस रैंडम वेरिएबल का अपेक्षित मूल्य निम्नानुसार गणना किया जाता है:

E(X) = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6)

इसे हल करते हुए, हमें अपेक्षित मूल्य मिलता है:

E(X) = 3.5

हालांकि आप पासे से ठीक 3.5 को फेंकने की अपेक्षा नहीं कर सकते, यह मान कई पासे फेंकने पर आप जिस "औसत" परिणाम की अपेक्षा करेंगे उसे दर्शाता है।

उदाहरण 2: निरंतर यादृच्छिक चर की अपेक्षा

निरंतर यादृच्छिक चरों के लिए, अपेक्षित मूल्य एक इंटीग्रल का उपयोग करके गणना किया जाता है। मान लीजिए हमारे पास एक रैंडम वेरिएबल X है जो प्रायिकता घनत्व फंक्शन (PDF) f(x) के साथ है। अपेक्षित मूल्य सूत्र द्वारा दिया गया है:

E(X) = ∫ x * f(x) dx

मान लीजिए कि X एक समान वितरण का पालन करता है [a, b] अंतराल पर। PDF है f(x) = 1 / (b - a). अपेक्षित मूल्य है:

E(X) = ∫ (x / (ba)) dx, from a to b

इससे परिणाम प्राप्त होता है:

E(X) = (b + a) / 2

विचरण: परिवर्तनशीलता का मापन

जबकि अपेक्षित मूल्य हमें एक बिंदु अनुमान देता है, यह हमें यह नहीं बताता कि इस औसत के चारों ओर कितना परिवर्तनशीलता है। विचरण इस प्रसार या संभावित मानों की परिवर्तनशीलता का मापन है।

एक रैंडम वेरिएबल X का विचरण, जिसे Var(X) या σ² के रूप में अंकित किया जाता है, X के अपने अपेक्षित मूल्य से वर्ग विचलन का आकांक्षानुरूप है। विचरण का सूत्र है:

Var(X) = E[(X - E(X))²]

आइए इस सूत्र को तोड़ते हैं:

• पहले, अपेक्षित मूल्य E(X) की गणना करें।
• फिर, E(X) से x_i के प्रत्येक मान का विचलन पाएं, जो है x_i - E(X).
• इन विचलनों को वर्ग करें ताकि ये अभाज्य हो जाएं।
• प्रत्येक वर्ग विचलन को उसकी प्रायिकता P(x_i) से गुणा करें।
• इन भारित वर्ग विचलनों को जोड़ें ताकि Var(X) प्राप्त हो।

उदाहरण 3: पासा फेंकने का विचरण

पिछले उदाहरण को ध्यान में रखते हुए छह-पक्षीय पासा फेंकने का विचरण खोजें।

याद करें E(X) = 3.5. विचरण निम्नानुसार गणना की जाएगी:

Var(X) = (1 - 3.5)² * (1/6) + (2 - 3.5)² * (1/6) + ... + (6 - 3.5)² * (1/6)

इसका मूल्यांकन इस प्रकार है:

Var(X) = 17.5 / 6 ≈ 2.92

यह विचरण मान हमें बताता है कि पासा रोल्स अपेक्षित मूल्य 3.5 के चारों ओर कितने "फैल" होते हैं।

उदाहरण 4: निरंतर यादृच्छिक चर का विचरण

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, विचरण इस प्रकार है:

Var(X) = ∫ (x - E(X))² * f(x) dx

मान लीजिए कि X समान रूप से वितरित है जैसे कि पिछले उदाहरण में, हमने पहले ही पाया E(X) = (b+a)/2. विचरण है:

Var(X) = ∫ [(x - (b+a)/2)² * f(x)] dx, from a to b

अपेक्षा और विचरण के गुण

अपेक्षा के गुण

• रैखिकता: अपेक्षित ऑपरेटर रैखिक होता है, अर्थात, यदि a और b स्थिरांकों हैं, तो E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), जहां X और Y यादृच्छिक चर हैं।
• एक स्थिरांक की अपेक्षा: एक स्थिरांक c के लिए, E(c) = c.
• यादृच्छिक चर का योग: यदि X और Y यादृच्छिक चर हैं, तो E(X+Y) = E(X) + E(Y).

विचरण के गुण

• एक स्थिरांक का विचरण: एक स्थिरांक का विचरण शून्य होता है क्योंकि यह नहीं बदलता।
• योगात्मक गुण: यदि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)
• मापक: Var(aX) = a²Var(X) जहां a एक स्थिरांक है।

निष्कर्ष

अपेक्षा और विचरण संभावना और सांख्यिकी की मौलिक अवधारणाएँ हैं। ये हमें यादृच्छिक चर का सारांश और समझ प्रदान करते हैं। जबकि अपेक्षा हमें "औसत" परिणाम बताती है, विचरण हमें यह विचार देता है कि इस औसत से कितनी परिवर्तनशीलता की अपेक्षा की जानी चाहिए। जो कोई भी संभावना और सांख्यिकी से संबंधित क्षेत्रों में गहराई से जाना चाहता है, उसके लिए इन अवधारणाओं में महारत आवश्यक है।

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