Expectativa y variación

Introducción

En el mundo de la probabilidad y la estadística, es importante entender cómo se comportan los eventos aleatorios. Dos conceptos fundamentales que nos ayudan a entender estos comportamientos son la "expectativa" o "valor esperado" y la "varianza". Estos conceptos nos permiten resumir las características de las variables aleatorias, que son variables cuyos posibles valores son los resultados numéricos de un evento aleatorio.

Expectativa: valor esperado

El valor esperado, a menudo denotado como E(X), es un concepto central en la probabilidad. Representa el resultado promedio que uno podría esperar de un experimento aleatorio si se repitiera muchas veces. Piénsalo como un "promedio ponderado" de todos los valores posibles de la variable aleatoria, donde cada valor posible se pondera de acuerdo con su probabilidad de ocurrencia.

Para calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta X, se usa la fórmula:

E(X) = Σ [x * P(x)]

Aquí, x representa cada posible valor de X, y P(x) es la probabilidad de que X sea igual a x. Para variables aleatorias continuas, la fórmula involucra una integración en lugar de una suma.

Ejemplo 1: Lanzar un dado justo

Consideremos un ejemplo simple de tirar un dado de seis caras justo. La variable aleatoria X representa el resultado del lanzamiento del dado, y sus valores posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, cada uno con una probabilidad de 1/6. El valor esperado de esta variable aleatoria se calcula de la siguiente manera:

E(X) = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6)

Resolviendo esto, obtenemos el valor esperado:

E(X) = 3.5

Aunque no se puede esperar que un dado saque exactamente 3.5, este valor representa el resultado "promedio" que se esperaría al lanzar varios dados.

Ejemplo 2: Expectativa de una variable aleatoria continua

Para variables aleatorias continuas, el valor esperado se calcula usando una integral. Supongamos que tenemos una variable aleatoria X con una función de densidad de probabilidad (PDF) f(x). El valor esperado se da por la fórmula:

E(X) = ∫ x * f(x) dx

Supongamos que X sigue una distribución uniforme en el intervalo [a, b]. La PDF es f(x) = 1 / (b - a). El valor esperado es:

E(X) = ∫ (x / (ba)) dx, desde a hasta b

esto resulta en:

E(X) = (b + a) / 2

Varianza: Midiendo la variabilidad

Mientras que el valor esperado nos da una estimación puntual, no nos dice cuánta variabilidad hay alrededor de este promedio. La varianza es una medida de esta dispersión o variabilidad en los posibles valores de una variable aleatoria.

La varianza de una variable aleatoria X, denotada como Var(X) o σ², se define como la expectativa de la desviación cuadrada de X respecto a su valor esperado. La fórmula para la varianza es:

Var(X) = E[(X - E(X))²]

Desglosemos esta fórmula:

• Primero, calcula el valor esperado E(X).
• Luego, encuentra la desviación de cada valor x_i respecto a E(X), que es x_i - E(X).
• Cuadra estas desviaciones para asegurarte de que sean no negativas.
• Multiplica cada desviación cuadrada por su probabilidad P(x_i).
• Suma estas desviaciones cuadradas ponderadas para obtener Var(X).

Ejemplo 3: Varianza de lanzar un dado

Usando el ejemplo anterior de lanzar un dado de seis caras, encontremos la varianza.

Recuerda E(X) = 3.5. La varianza se calcularía de la siguiente manera:

Var(X) = (1 - 3.5)² * (1/6) + (2 - 3.5)² * (1/6) + ... + (6 - 3.5)² * (1/6)

Su evaluación es la siguiente:

Var(X) = 17.5 / 6 ≈ 2.92

Este valor de la varianza nos da una medida de cuán "dispersos" están los lanzamientos del dado alrededor del valor esperado de 3.5.

Ejemplo 4: Varianza de una variable aleatoria continua

Para una variable aleatoria continua, la varianza se da por:

Var(X) = ∫ (x - E(X))² * f(x) dx

Suponiendo que X se distribuye uniformemente como en el ejemplo anterior, ya hemos encontrado E(X) = (b+a)/2. La varianza es:

Var(X) = ∫ [(x - (b+a)/2)² * f(x)] dx, desde a hasta b

Propiedades de la expectativa y la varianza

Propiedades de la expectativa

• Linealidad: El operador esperado es lineal, es decir, si a y b son constantes, entonces E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), donde X y Y son variables aleatorias.
• Expectativa de una constante: Para una constante c, E(c) = c.
• Suma de variables aleatorias: Si X y Y son variables aleatorias, entonces E(X+Y) = E(X) + E(Y).

Propiedades de la varianza

• Varianza de una constante: La varianza de una constante es cero porque no cambia.
• Propiedad aditiva: Si X y Y son variables aleatorias independientes, Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)
• Escalamiento: Var(aX) = a²Var(X) donde a es una constante.

Conclusión

La expectativa y la varianza son conceptos fundamentales en probabilidad y estadística. Proveen una forma de resumir y entender variables aleatorias. Mientras que la expectativa nos dice cuál es el resultado "promedio", la varianza nos da una idea de cuánta variabilidad se debe esperar de este promedio. Dominar estos conceptos es importante para cualquiera que quiera profundizar en campos relacionados con la probabilidad y la estadística.

Comentarios