Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Variáveis aleatórias


Introdução

Na teoria da probabilidade e estatística, as variáveis aleatórias servem como um conceito fundamental. Elas representam quantidades que podem assumir diferentes valores, cada um com uma probabilidade associada. Compreender variáveis aleatórias é importante no estudo da probabilidade, pois elas nos ajudam a modelar e analisar eventos aleatórios de forma estruturada.

Definindo variáveis aleatórias

Uma variável aleatória é essencialmente uma função que atribui um valor numérico a cada resultado em um espaço amostral. Um espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, se você lançar um dado de seis lados, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Tipos de variáveis aleatórias

As variáveis aleatórias são geralmente classificadas em dois principais tipos:

  • Variáveis aleatórias discretas: Essas variáveis assumem um número contável de valores distintos. Um exemplo disso é o resultado de lançar um dado, que pode resultar apenas em um número limitado de possibilidades: 1, 2, 3, 4, 5, ou 6.
  • Variáveis aleatórias contínuas: Essas variáveis assumem valores infinitamente possíveis. Por exemplo, a quantidade exata de chuva em um dia pode ser qualquer número real não negativo.

Exemplo visual: variável aleatória discreta

Considere um simples experimento aleatório de lançar uma moeda duas vezes. O espaço amostral é:

{HH, HT, TH, TT}

Defina a variável aleatória X como o número de caras que aparecem. Novamente, X pode assumir os valores 0, 1 ou 2.

A distribuição de probabilidade de X pode ser representada visualmente da seguinte forma:

0 1 2 0,25 0,5 0,25

Exemplo visual: variável aleatória contínua

Para uma variável aleatória contínua, considere um exemplo onde a variável aleatória Y representa a altura de uma árvore escolhida aleatoriamente em uma floresta. Esta variável aleatória pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo.

A distribuição de probabilidade de Y geralmente será representada como uma curva suave:

A área sob a curva entre dois pontos quaisquer representa a probabilidade da variável aleatória cair dentro desse intervalo.

Função de massa de probabilidade (PMF) e função densidade de probabilidade (PDF)

As variáveis aleatórias são caracterizadas por funções que descrevem as probabilidades associadas aos seus valores possíveis. Para variáveis aleatórias discretas, isso é representado pela função de massa de probabilidade (PMF). Para variáveis aleatórias contínuas, usamos a função densidade de probabilidade (PDF).

Função de massa de probabilidade (PMF)

A PMF de uma variável aleatória discreta X é uma função p(x) que fornece a probabilidade P(X = x) para cada valor x no espaço amostral.

Função densidade de probabilidade (PDF)

A PDF de uma variável aleatória contínua Y é uma função f(y) tal que a probabilidade de Y cair dentro de um intervalo [a, b] é dada pela integral de f(y) sobre esse intervalo:

P(a ≤ Y ≤ b) = ∫ a b f(y) dy

Propriedades das variáveis aleatórias

As variáveis aleatórias possuem propriedades que ajudam a resumir e compreender seu comportamento. Estas incluem o valor esperado, variância, e desvio padrão.

Valor esperado

O valor esperado ou média de uma variável aleatória é uma medida de sua tendência central. Para uma variável aleatória discreta X com PMF p(x), o valor esperado E(X) é:

e(x) = Σ x * p(x)

Para uma variável aleatória contínua Y com pdf f(y), o valor esperado E(Y) é:

e(y) = ∫ y * f(y) dy

Variância e desvio padrão

A variância fornece uma medida de como os valores de uma variável aleatória estão espalhados em torno da média. A variância de X é dada por:

Var(X) = E((X - E(X))^2)

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e fornece uma medida de dispersão nas mesmas unidades da variável aleatória.

Exemplo: cálculo de variável aleatória discreta

Suponha que temos uma variável aleatória Y que representa os resultados de lançar um dado justo de seis lados. Os valores de Y são 1, 2, 3, 4, 5, e 6, cada um com uma probabilidade de 1/6.

O valor esperado de Y é:

E(Y) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) * (1/6) = 3,5

Exemplo: cálculo de variável aleatória contínua

Considere uma variável aleatória Z que segue uma distribuição uniforme entre 0 e 3. A PDF é definida como:

f(z) = 1/3, para 0 ≤ z ≤ 3

O valor esperado de Z é:

e(z) = ∫ 0 3 z * (1/3) dz

Resolver esta integral fornece E(Z) = 1,5.

Conclusão

As variáveis aleatórias são um componente importante da probabilidade e estatística, pois fornecem uma maneira de medir e analisar fenômenos aleatórios. Compreender as características e propriedades das variáveis aleatórias nos equipa com as ferramentas necessárias para explorar uma ampla gama de problemas do mundo real, onde incerteza e aleatoriedade estão presentes.


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