रैंडम वेरिएबल्स

परिचय

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, रैंडम वेरिएबल्स एक मौलिक अवधारणा के रूप में कार्य करती हैं। वे ऐसी मात्राएँ हैं जो विभिन्न मान ले सकती हैं, जिनमें से प्रत्येक का एक संबंधित प्रायिकता होता है। प्रायिकता के अध्ययन में रैंडम वेरिएबल्स को समझना महत्वपूर्ण होता है, क्योंकि वे हमें संरचित तरीके से रैंडम घटनाओं का मॉडल बनाने और विश्लेषण करने में मदद करते हैं।

रैंडम वेरिएबल्स को परिभाषित करना

एक रैंडम वेरिएबल मूल रूप से एक फ़ंक्शन होता है जो सैंपल स्पेस के प्रत्येक परिणाम को एक संख्यात्मक मान सौंपता है। सैंपल स्पेस एक रैंडम प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का सेट होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक छह-पक्षीय पासे को रोल करते हैं, तो सैंपल स्पेस {1, 2, 3, 4, 5, 6} होता है।

रैंडम वेरिएबल्स के प्रकार

रैंडम वेरिएबल्स को आमतौर पर दो मुख्य प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:

• समष्टि रैंडम वेरिएबल्स: ये वेरिएबल्स विवेकपूर्ण संख्या में भिन्न मान ले सकते हैं। इसका एक उदाहरण पासे का रोल होता है, जो केवल सीमित संख्या की संभावनाओं में से एक का परिणाम हो सकता है: 1, 2, 3, 4, 5, या 6।
• सतत रैंडम वेरिएबल्स: ये वेरिएबल्स असीमित संभावित मान लेते हैं। उदाहरण के लिए, एक दिन में बारिश की सटीक मात्रा कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है।

दृश्य उदाहरण: समष्टि रैंडम वेरिएबल

एक सिक्का दो बार उछालने का सरल रैंडम प्रयोग मानें। सैंपल स्पेस है:

{HH, HT, TH, TT}

रैंडम वेरिएबल X को प्रदत्त करें जो उपस्थित शीशों की संख्या बताए। फिर, X मान 0, 1, या 2 ले सकता है।

X का प्रायिकता वितरण को दृश्य रूप में निम्नानुसार प्रदर्शित किया जा सकता है:

दृश्य उदाहरण: सतत रैंडम वेरिएबल

सतत रैंडम वेरिएबल के लिए, एक उदाहरण मानें जहां रैंडम वेरिएबल Y वन के एक यादृच्छिक रूप से चुने गए पेड़ की ऊँचाई को दर्शाता है। यह रैंडम वेरिएबल एक दिए गए सीमा के भीतर कोई भी मान ले सकता है।

Y का प्रायिकता वितरण अक्सर एक स्मूथ कर्व के रूप में दर्शाया जाता है:

कर्व के बीच के किसी भी दो बिंदुओं के बीच का क्षेत्र उस सीमा में रैंडम वेरिएबल गिरने की प्रायिकता को दर्शाता है।

प्रायिकता मास फंक्शन (PMF) और प्रायिकता घनत्व फंक्शन (PDF)

रैंडम वेरिएबल्स फ़ंक्शन्स द्वारा लक्षणित होते हैं जो उनके संभावित मानों से संबंधित प्रायिकताएँ वर्णन करते हैं। समष्टि रैंडम वेरिएबल्स के लिए, इसे प्रायिकता मास फंक्शन (PMF) द्वारा दर्शाया जाता है। सतत रैंडम वेरिएबल्स के लिए, हम प्रायिकता घनत्व फंक्शन (PDF) का उपयोग करते हैं।

प्रायिकता मास फंक्शन (PMF)

समष्टि रैंडम वेरिएबल X का PMF एक फ़ंक्शन p(x) है जो प्रत्येक मान x के लिए प्रायिकता P(X = x) देता है।

प्रायिकता घनत्व फंक्शन (PDF)

सतत रैंडम वेरिएबल Y का PDF एक फ़ंक्शन f(y) होता है ताकि Y का किसी इंटरवल [a, b] में गिरने की प्रायिकता उस इंटरवल पर f(y) का समाकलन देकर दी जाए:

P(a ≤ Y ≤ b) = ∫ a b f(y) dy

रैंडम वेरिएबल्स के गुण

रैंडम वेरिएबल्स के कुछ ऐसे गुण होते हैं जो उनके व्यवहार को संक्षेप रूप में समझने में मदद करते हैं। इनमें शामिल हैं अपेक्षित मान, विचलन, और मानक विचलन।

अपेक्षित मान

एक रैंडम वेरिएबल का अपेक्षित मान या औसत उसके केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है। समष्टि रैंडम वेरिएबल X के लिए PMF p(x) है, अपेक्षित मान E(X) होता है:

e(x) = Σ x * p(x)

सतत रैंडम वेरिएबल Y के लिए pdf f(y) के साथ, अपेक्षित मान E(Y) होता है:

e(y) = ∫ y * f(y) dy

विचलन और मानक विचलन

विचलन यह माप देता है कि रैंडम वेरिएबल के मान औसत के चारों ओर कितना फैलता है। X का विचलन होता है:

Var(X) = E((X - E(X))^2)

मानक विचलन विचलन का वर्गमूल होता है और यह उसी मात्राओं में फैलाव को मापता है जैसा रैंडम वेरिएबल होता है।

उदाहरण: समष्टि रैंडम वेरिएबल की गणना

मान लीजिए कि हमारे पास एक रैंडम वेरिएबल Y है जो एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासे के रोल के परिणामों को दर्शाता है। Y के मान 1, 2, 3, 4, 5, और 6 हैं, प्रत्येक की प्रायिकता 1/6 है।

Y का अपेक्षित मान होता है:

E(Y) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) * (1/6) = 3.5

उदाहरण: सतत रैंडम वेरिएबल की गणना

एक रैंडम वेरिएबल Z मानें जो 0 और 3 के बीच एक समान वितरण का पालन करता है। PDF को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है:

f(z) = 1/3, for 0 ≤ z ≤ 3

Z का अपेक्षित मान होता है:

e(z) = ∫ 0 3 z * (1/3) dz

इस समाकलन को हल करने पर E(Z) = 1.5 प्राप्त होता है।

निष्कर्ष

रैंडम वेरिएबल्स प्रायिकता और सांख्यिकी का एक महत्वपूर्ण घटक होते हैं, जो रैंडम घटनाओं को मापने और विश्लेषण करने का एक तरीका प्रदान करते हैं। रैंडम वेरिएबल्स के गुणों और विशेषताओं को समझना हमें उन उपकरणों से सुसज्जित करता है जो हमें वास्तविक दुनिया की समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला का पता लगाने में मदद करते हैं जहां अनिश्चितता और रैंडमनेस उपस्थित होती हैं।

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