Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario → Probabilidad y estadística → Teoría de la probabilidad ↓


Variables aleatorias


Introducción

En teoría de la probabilidad y estadística, las variables aleatorias son un concepto fundamental. Representan cantidades que pueden tomar diferentes valores, cada uno de los cuales tiene una probabilidad asociada. Comprender las variables aleatorias es importante en el estudio de la probabilidad, ya que nos ayudan a modelar y analizar eventos aleatorios de forma estructurada.

Definiendo variables aleatorias

Una variable aleatoria es esencialmente una función que asigna un valor numérico a cada resultado en un espacio muestral. Un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si lanzas un dado de seis caras, el espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Tipos de variables aleatorias

Las variables aleatorias generalmente se clasifican en dos tipos principales:

  • Variables aleatorias discretas: Estas variables toman un número contable de valores distintos. Un ejemplo de esto es el resultado de lanzar un dado, que solo puede resultar en una de un número limitado de posibilidades: 1, 2, 3, 4, 5, o 6.
  • Variables aleatorias continuas: Estas variables toman un número infinito de valores posibles. Por ejemplo, la cantidad exacta de lluvia en un día puede ser cualquier número real no negativo.

Ejemplo visual: variable aleatoria discreta

Considere un experimento aleatorio simple de lanzar una moneda dos veces. El espacio muestral es:

{HH, HT, TH, TT}

Defina la variable aleatoria X como el número de caras que aparecen. Nuevamente, X puede tomar los valores 0, 1 o 2.

La distribución de probabilidad de X se puede representar visualmente de la siguiente manera:

0 1 2 0.25 0.5 0.25

Ejemplo visual: variable aleatoria continua

Para una variable aleatoria continua, considere un ejemplo donde la variable aleatoria Y representa la altura de un árbol elegido al azar en un bosque. Esta variable aleatoria puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado.

La distribución de probabilidad de Y se representará a menudo como una curva suave:

El área debajo de la curva entre dos puntos representa la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de ese rango.

Función de masa de probabilidad (FMP) y función de densidad de probabilidad (FDP)

Las variables aleatorias se caracterizan por funciones que describen las probabilidades asociadas con sus valores posibles. Para variables aleatorias discretas, esto se representa mediante la función de masa de probabilidad (FMP). Para variables aleatorias continuas, usamos la función de densidad de probabilidad (FDP).

Función de masa de probabilidad (FMP)

La FMP de una variable aleatoria discreta X es una función p(x) que da la probabilidad P(X = x) para cada valor x en el espacio muestral.

Función de densidad de probabilidad (FDP)

La FDP de una variable aleatoria continua Y es una función f(y) tal que la probabilidad de que Y caiga dentro de un intervalo [a, b] está dada por la integral de f(y) sobre ese intervalo:

P(a ≤ Y ≤ b) = ∫ a b f(y) dy

Propiedades de las variables aleatorias

Las variables aleatorias tienen propiedades que ayudan a resumir y comprender su comportamiento. Estas incluyen el valor esperado, la varianza y la desviación estándar.

Valor esperado

El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de su tendencia central. Para una variable aleatoria discreta X con FMP p(x), el valor esperado E(X) es:

e(x) = Σ x * p(x)

Para una variable aleatoria continua Y con fdp f(y), el valor esperado E(Y) es:

e(y) = ∫ y * f(y) dy

Varianza y desviación estándar

La varianza proporciona una medida de cuán dispersos están los valores de una variable aleatoria alrededor de la media. La varianza de X está dada por:

Var(X) = E((X - E(X))^2)

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y proporciona una medida de dispersión en las mismas unidades que la variable aleatoria.

Ejemplo: cálculo de variable aleatoria discreta

Supongamos que tenemos una variable aleatoria Y que representa los resultados de lanzar un dado de seis caras justo. Los valores de Y son 1, 2, 3, 4, 5, y 6, cada uno con una probabilidad de 1/6.

El valor esperado de Y es:

E(Y) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) * (1/6) = 3.5

Ejemplo: cálculo de variable aleatoria continua

Considere una variable aleatoria Z que sigue una distribución uniforme entre 0 y 3. La FDP se define como:

f(z) = 1/3, para 0 ≤ z ≤ 3

El valor esperado de Z es:

e(z) = ∫ 0 3 z * (1/3) dz

Resolver esta integral da como resultado E(Z) = 1.5.

Conclusión

Las variables aleatorias son un componente importante de la probabilidad y la estadística, que proporcionan una forma de medir y analizar fenómenos aleatorios. Comprender las características y propiedades de las variables aleatorias nos equipa con las herramientas necesarias para explorar una amplia gama de problemas del mundo real donde están presentes la incertidumbre y el azar.


Universitario → 6.1.2


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (6.1.1)
Conceptos Básicos de Probabilidad
Siguiente (6.1.3) →
Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad

Comentarios 



Variables aleatorias

https://www.buddymath.com/ug/6.1.2?bmal=es