Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario → Introducción al Análisis Complejo → Funciones de una variable compleja ↓


Integrales de contorno


En el análisis complejo, las integrales de contorno juegan un papel importante en la evaluación de funciones complejas sobre ciertos caminos en el plano complejo. Extienden la idea del cálculo de una variable a funciones complejas, permitiendo una comprensión más profunda de su comportamiento y propiedades. Entender las integrales de contorno implica no solo calcular la integral a lo largo del camino, sino también explorar la geometría del camino en el plano complejo.

Fundamentos de las integrales de contorno

Una integral de contorno en análisis complejo se refiere a una integral donde la función se integra a lo largo de una curva, conocida como contorno, en el plano complejo. La idea es básicamente la misma que la integral de línea en cálculo vectorial. Para comenzar, definamos algunas ideas clave:

  • Función compleja: Una función f(z) definida con una variable compleja z puede expresarse como z = x + yi, donde x y y son números reales, y i es la unidad imaginaria que satisface i^2 = -1.
  • Línea de contorno: Una línea de contorno es una línea curva dirigida y suave en el plano complejo. Puede estar compuesta de varios segmentos de curva o de una sola curva continua.
  • Integral de Contorno: La integral de contorno de una función f(z) sobre un contorno C se representa por (int_C f(z) , dz).

Definiendo el marco

Considera una curva simple C dada por la parametrización z(t) = x(t) + iy(t), donde t va de a a b. El contorno C representa el camino trazado por la variable z(t) en el plano complejo.

La integral de f(z) a lo largo de C se calcula como:

[ int_C f(z) , dz = int_a^b f(z(t)) cdot z'(t) , dt ]

Ejemplo de integral de contorno

Considera un caso más simple evaluando la integral de f(z) = z sobre un contorno de línea recta C de z_0 = 0 a z_1 = 1 + i.

Parametriza el segmento de línea C como z(t) = t + it para t de 0 a 1.

Entonces, z'(t) = 1 + i.

Ahora, calcula la integral de contorno:

[ int_C z , dz = int_0^1 (t + it) cdot (1 + i) , dt = int_0^1 (t + it) cdot (1 + i) , dt ]

Este proceso implica expansión e integración:

[ = int_0^1 (t + it)(1 + i) , dt = int_0^1 ((1 + i)t + i^2 t) , dt = int_0^1 (t + it - t) , dt ] = int_0^1 it , dt = i left[ frac{t^2}{2} right]_0^1 = i cdot frac{1}{2} = frac{i}{2} ]

Ejemplo visual

Imaginemos una integral de contorno sobre un camino semicircular en el plano complejo:

01C

Este semicírculo C representa la mitad superior de un círculo de radio 1 centrado en el origen en el plano complejo.

Propiedades de las integrales de contorno

Las integrales de contorno satisfacen varias propiedades importantes, lo que las hace útiles en el análisis complejo:

Linealidad

Las integrales de contorno son lineales por naturaleza. Sea f(z) y g(z) funciones complejas, y C un contorno. Las siguientes reglas aplican:

[ int_C (af(z) + bg(z)) , dz = aint_C f(z) , dz + bint_C g(z) , dz ]

La linealidad permite la combinación y simplificación de las integrales de contorno.

Inversión de contorno

El cambio de dirección de un contorno cambia el signo de la línea de contorno. Si -C representa un contorno C con la dirección opuesta, entonces:

[ int_{-C} f(z) , dz = -int_C f(z) , dz ]

Aditividad

Si una línea de contorno C está compuesta por dos sublíneas de contorno C_1 y C_2, entonces:

[ int_C f(z) , dz = int_{C_1} f(z) , dz + int_{C_2} f(z) , dz ]

Esta propiedad te permite descomponer un contorno complejo en secciones más simples.

Teorema de la integral de Cauchy

El teorema de la integral de Cauchy es un resultado fundamental en análisis complejo que se aplica a funciones holomorfas (funciones que son complejamente diferenciables en cada punto de un dominio).

Enunciado del teorema: Sea f una función holomorfa sobre algún dominio simplemente conexo D. Para cualquier contorno cerrado C en D,

[ int_C f(z) , dz = 0 ]

Este teorema implica que la integral de una función holomorfa sobre un contorno cerrado es siempre cero. Este resultado es extremadamente poderoso y forma la base para otros teoremas y resultados en el análisis complejo.

Fórmula integral de Cauchy

La fórmula integral de Cauchy es una consecuencia del teorema anterior y proporciona una manera de evaluar integrales de funciones holomorfas.

Enunciado de la fórmula: Sea f holomorfa en un dominio que consista en el contorno cerrado C y su interior. Si z_0 está dentro de C, entonces:

[ f(z_0) = frac{1}{2pi i} int_C frac{f(z)}{z - z_0} , dz ]

Esta fórmula nos permite recuperar el valor de f(z_0) cuando se nos da una integral de contorno.

Teorema del residuo

El teorema del residuo es otra herramienta poderosa que permite la evaluación de integrales de contorno que involucran funciones meromorfas (funciones que son holomorfas excepto por un conjunto de puntos aislados llamados polos).

Enunciado del teorema: Sea f con singularidades aisladas en los puntos a_1, a_2, ..., a_n dentro de la línea de contorno C. Entonces

[ int_C f(z) , dz = 2pi i sum text{Res}(f, a_k) ]

donde text{Res}(f, a_k) denota el residuo de f en a_k.

Conclusión

Las integrales de contorno son un concepto central en el análisis complejo, que permite a matemáticos e ingenieros explorar y entender funciones complejas y sus propiedades. Con sus potentes teoremas como el teorema de la integral de Cauchy y el teorema del residuo, las integrales de contorno facilitan la evaluación de integrales complejas, proporcionando una comprensión más profunda del comportamiento de las funciones complejas.


Universitario → 5.2.3


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (5.2.2)
Ecuaciones de Cauchy–Riemann
Siguiente (5.2.4) →
Teorema de integración de Cauchy

Comentarios 



Integrales de contorno

https://www.buddymath.com/ug/5.2.3?bmal=es