Ecuaciones de Cauchy–Riemann

Las ecuaciones de Cauchy–Riemann son un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales que son una parte fundamental del análisis complejo, particularmente en el estudio de funciones de una variable compleja. Proporcionan una condición necesaria y suficiente para que una función compleja sea holomorfa, lo que significa que es diferenciable en cada punto de su dominio.

Comprendiendo los números complejos

Antes de adentrarnos en las ecuaciones de Cauchy-Riemann, revisemos los conceptos básicos de los números complejos. Un número complejo es de la forma z = x + iy, donde x y y son números reales, y i es una unidad imaginaria con la propiedad i 2 = -1.

En esta forma, x se llama la parte real de z, denotada por Re(z), y y es la parte imaginaria, denotada por Im(z).

Funciones de una variable compleja

Una función de una variable compleja se representa como f(z), donde z es un número complejo. Dicha función también puede expresarse en términos de sus componentes reales e imaginarios. Expresemos f(z) de la siguiente manera:

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

Aquí, u(x, y) y v(x, y) son funciones con valores reales que representan las partes real e imaginaria de f(z), respectivamente.

Ecuaciones de Cauchy–Riemann

Para que una función f(z) sea diferenciable en un punto z_0 de su dominio, las ecuaciones de Cauchy-Riemann deben satisfacerse en ese punto. Estas ecuaciones son las siguientes:

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

Representación visual

Derivación de las ecuaciones de Cauchy–Riemann

Derivemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann de una manera simple. Considere la derivada de f(z) en el punto z_0:

f'(z_0) = lim(Δz→0) [(f(z_0 + Δz) - f(z_0)) / Δz]

Exprese Δz como Δz = Δx + iΔy. Luego, podemos escribir:

f(z_0 + Δz) = u(x + Δx, y + Δy) + iv(x + Δx, y + Δy)

Expandamos esto en términos de Δx y Δy:

f(z_0 + Δz) ≈ f(z_0) + (∂u/∂x + i∂v/∂x)Δx + (∂u/∂y + i∂v/∂y)Δy

Al resolver lo anterior para la holomorfía, se obtienen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Interpretación geométrica

Geométricamente, las ecuaciones de Cauchy–Riemann implican que las aplicaciones definidas por funciones holomorfas preservan localmente ángulos y formas. En otras palabras, tales funciones exhiben conformidad. Por ejemplo, si una forma más pequeña se deformara mientras es movida por tal función, la nueva forma seguiría siendo la misma que la original en términos de ángulos y proporciones.

Ejemplo: función identidad

Considere la función identidad f(z) = z. Aquí, u(x, y) = x y v(x, y) = y. Compruebe las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

∂u/∂x = 1, ∂v/∂y = 1
∂u/∂y = 0, ∂v/∂x = 0

cumpliendo con las ecuaciones de Cauchy–Riemann, por lo tanto f(z) = z es holomorfa.

Aplicación

Las ecuaciones de Cauchy–Riemann son fundamentales para hacer una función analítica, permitiendo el uso de potentes teoremas en análisis complejo como el teorema integral de Cauchy y la serie de Taylor para funciones complejas. Se utilizan en una variedad de campos como la dinámica de fluidos, el electromagnetismo y la mecánica cuántica.

Ejemplo: potencias complejas

Considere f(z) = z n, donde n es un entero positivo. Exprese f(z) = (x + iy) n Utilizando el teorema binomial, podemos expandir y separar en partes reales e imaginarias. Demuestre que la expresión expandida satisface de hecho las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Conclusión

Las ecuaciones de Cauchy–Riemann sirven como un puente esencial entre el análisis real y complejo, conteniendo criterios esenciales para la diferenciabilidad de las funciones complejas. Comprender estas ecuaciones ayuda a una comprensión más profunda de la naturaleza de las funciones complejas y su amplia aplicabilidad en varios campos científicos.

Comentarios