Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Funções Analíticas


No estudo da análise complexa, um conceito importante é o das funções analíticas. Essas funções são as contrapartes complexas das funções diferenciáveis na análise real. Uma função analítica, também conhecida como função holomórfica, é uma função complexa que é localmente dada por uma série de potências convergente. Em termos simples, uma função analítica pode ser diferenciada em todos os pontos de seu domínio.

Compreendendo tarefas complexas

Antes de mergulhar nas funções analíticas, vamos rever brevemente o que são funções complexas. Uma função complexa é uma função que mapeia números complexos para números complexos. Suponha que temos um número complexo z definido como:

z = x + yi

Aqui, x e y são números reais, e i é uma unidade imaginária com a propriedade de que i 2 = -1.

Uma função complexa f(z) assume a seguinte forma:

f(z) = u(x, y) + v(x, y)i

onde u(x, y) e v(x, y) são funções de valor real de duas variáveis reais x e y. Assim, a função f mapeia cada número complexo z para outro número complexo.

Definição de funções analíticas

Uma função f(z) é chamada analítica em um ponto z 0 se existir alguma vizinhança ao redor de z 0 na qual a função pode ser expressa como uma série de potências convergente:

f(z) = a 0 + a 1 (z - z 0 ) + a 2 (z - z 0 ) 2 + ...

Isso significa que f(z) não apenas tem uma derivada em z 0, mas também tem derivadas de todas as ordens.

Representação por séries de potências

Uma das propriedades mais importantes das funções analíticas é sua representação por séries de potências. As séries de potências fornecem uma maneira de expressar uma função usando a soma de termos infinitos. Essa propriedade é útil para estimar funções complexas e entender seu comportamento.

Por exemplo, a função exponencial e z pode ser expandida da seguinte forma:

e z = 1 + z + frac{z^2}{2!} + frac{z^3}{3!} + frac{z^4}{4!} + ...

Esta série é um exemplo de série de potências e uma demonstração de convergência em todos os pontos no plano complexo, o que significa que e z é uma função inteira (analítica em todos os lugares).

Equações de Cauchy-Riemann

Para que uma função complexa f(z) = u(x, y) + v(x, y)i seja analítica, ela deve satisfazer as equações de Cauchy-Riemann. Essas são um conjunto de duas equações diferenciais parciais dadas como:

frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}
frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x}

Se essas condições forem atendidas e as derivadas parciais de u e v forem contínuas, então f(z) é analítica.

Exemplo visual

Considere a função f(z) = z 2 Podemos expressar esta função como:

z = x + yi  
f(z) = (x + yi) 2 = (x 2 - y 2 ) + 2x iy

Aqui, u(x, y) = x 2 - y 2 e v(x, y) = 2xy. Aplicando as equações de Cauchy-Riemann, temos:

frac{partial u}{partial x} = 2x,   frac{partial v}{partial y} = 2x
frac{partial u}{partial y} = -2y,   frac{partial v}{partial x} = 2y

Como ambas as equações são satisfeitas, f(z) = z 2 é analítica.

XIy

Propriedades das funções analíticas

  • Continuidade: As funções analíticas são contínuas. Se f(z) é analítica em z 0, então é contínua em z 0.
  • Diferenciabilidade: Uma função analítica pode ser diferenciada em todos os pontos de seu domínio, e a derivada também é analítica.
  • Mapeamento conformal: As funções analíticas preservam os ângulos em que as curvas se encontram, exceto nos pontos onde a derivada é zero.
  • Infinidade de derivadas: todas as derivadas de uma função analítica existem e são contínuas.

Exemplos de funções analíticas

Função exponencial

A função exponencial e z é um exemplo de uma função inteira, o que significa que é analítica em todos os lugares no plano complexo.

e z = 1 + z + frac{z^2}{2!} + frac{z^3}{3!} + ldots

Funções seno e cosseno

As funções seno e cosseno, sin(z) e cos(z), também são funções inteiras e podem ser expressas em uma série de potências:

sin(z) = z - frac{z^3}{3!} + frac{z^5}{5!} - frac{z^7}{7!} + ldots
cos(z) = 1 - frac{z^2}{2!} + frac{z^4}{4!} - frac{z^6}{6!} + ldots

Função logarítmica

A função logarítmica log(z) é analítica em zero e ao longo do eixo real negativo, já que o logaritmo de um número não positivo não é definido no plano complexo.

Convergência e raio de convergência

Para que uma série de potências converja, ela deve convergir absolutamente dentro de uma certa distância do ponto z 0 Esta distância é chamada de raio de convergência, R Se a série convergir em um ponto, então converge em todos os pontos dentro da distância R

|z - z 0 | < R

Exemplo visual

RZ0

Encontrando os zeros de funções analíticas

O zero de uma função analítica é o ponto onde o valor da função é zero. Matematicamente, se f(z 0 ) = 0, então z 0 é o zero de f(z). Os zeros são importantes na análise complexa porque ajudam a identificar o comportamento de uma função.

Teorema de Liouville

Um resultado importante sobre funções analíticas é o teorema de Liouville. Ele afirma que se f(z) é uma função inteira e é limitada, então f(z) deve ser constante. Esta é uma propriedade notável que tem implicações poderosas no estudo de funções analíticas.

Conclusão

As funções analíticas ocupam um lugar especial na análise complexa devido à sua diferenciabilidade e representação por séries de potências. Elas possuem propriedades que permitem seu uso na resolução de problemas complexos e fazem importantes contribuições a campos como engenharia, física e matemática aplicada. A estrutura rigorosa fornecida pela análise complexa, especialmente através de propriedades e teoremas sobre funções analíticas, proporciona uma compreensão profunda dos fenômenos matemáticos no plano complexo.


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