Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Funciones analíticas


En el estudio del análisis complejo, un concepto importante es el de funciones analíticas. Estas funciones son las contrapartes complejas de las funciones diferenciables en el análisis real. Una función analítica, también conocida como función holomorfa, es una función compleja que se da localmente por una serie de potencias convergente. En términos sencillos, una función analítica puede ser diferenciada en cada punto de su dominio.

Entendiendo tareas complejas

Antes de profundizar en las funciones analíticas, revisemos brevemente qué son las funciones complejas. Una función compleja es una función que asigna números complejos a números complejos. Supongamos que tenemos un número complejo z definido como:

z = x + yi

Aquí, x y y son números reales, y i es una unidad imaginaria con la propiedad de que i 2 = -1.

Una función compleja f(z) toma la siguiente forma:

f(z) = u(x, y) + v(x, y)i

donde u(x, y) y v(x, y) son funciones de valor real de dos variables reales x y y. Por lo tanto, la función f asigna cada número complejo z a otro número complejo.

Definición de funciones analíticas

Una función f(z) se llama analítica en un punto z 0 si existe algún entorno alrededor de z 0 en el cual la función puede expresarse como una serie de potencias convergente:

f(z) = a 0 + a 1 (z - z 0 ) + a 2 (z - z 0 ) 2 + ...

Esto significa que f(z) no solo tiene una derivada en z 0, sino que también tiene derivadas de todos los órdenes.

Representación en series de potencias

Una de las propiedades más importantes de las funciones analíticas es su representación en series de potencias. Las series de potencias proporcionan una manera de expresar una función usando la suma de términos infinitos. Esta propiedad es útil para estimar funciones complejas y entender su comportamiento.

Por ejemplo, la función exponencial e z puede expandirse de la siguiente manera:

e z = 1 + z + frac{z^2}{2!} + frac{z^3}{3!} + frac{z^4}{4!} + ...

Esta serie es un ejemplo de una serie de potencias y una demostración de convergencia en todos los puntos del plano complejo, lo que significa que e z es una función entera (analítica en todas partes).

Ecuaciones de Cauchy–Riemann

Para que una función compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y)i sea analítica, debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Estas son un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales dadas por:

frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}
frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x}

Si se cumplen estas condiciones y las derivadas parciales de u y v son continuas, entonces f(z) es analítica.

Ejemplo visual

Considere la función f(z) = z 2 Podemos expresar esta función como:

z = x + yi  
f(z) = (x + yi) 2 = (x 2 - y 2 ) + 2x iy

Aquí, u(x, y) = x 2 - y 2 y v(x, y) = 2xy. Aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, tenemos:

frac{partial u}{partial x} = 2x,   frac{partial v}{partial y} = 2x
frac{partial u}{partial y} = -2y,   frac{partial v}{partial x} = 2y

Ya que ambas ecuaciones se satisfacen, f(z) = z 2 es analítica.

XIy

Propiedades de las funciones analíticas

  • Continuidad: Las funciones analíticas son continuas. Si f(z) es analítica en z 0, entonces es continua en z 0.
  • Diferenciabilidad: Una función analítica puede ser diferenciada en todos los puntos de su dominio, y la derivada también es analítica.
  • Mapeo conforme: Las funciones analíticas preservan los ángulos en los cuales las curvas se encuentran, excepto en los puntos donde la derivada es cero.
  • Infinidad de derivadas: todas las derivadas de una función analítica existen y son continuas.

Ejemplos de funciones analíticas

Función exponencial

La función exponencial e z es un ejemplo de una función entera, lo que significa que es analítica en todas partes en el plano complejo.

e z = 1 + z + frac{z^2}{2!} + frac{z^3}{3!} + ldots

Funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno, sin(z) y cos(z), también son funciones enteras y se pueden expresar en una serie de potencias:

sin(z) = z - frac{z^3}{3!} + frac{z^5}{5!} - frac{z^7}{7!} + ldots
cos(z) = 1 - frac{z^2}{2!} + frac{z^4}{4!} - frac{z^6}{6!} + ldots

Función logarítmica

La función logarítmica log(z) es analítica en cero y a lo largo del eje real negativo, dado que el logaritmo de un número no positivo no está definido en el plano complejo.

Convergencia y radio de convergencia

Para que una serie de potencias converja, debe converger absolutamente dentro de cierta distancia del punto z 0 Esta distancia se llama el radio de convergencia, R Si la serie converge en un punto, entonces converge en todos los puntos dentro de la distancia R

|z - z 0 | < R

Ejemplo visual

RZ0

Encontrando los ceros de las funciones analíticas

El cero de una función analítica es el punto donde el valor de la función es cero. Matemáticamente, si f(z 0 ) = 0, entonces z 0 es el cero de f(z). Los ceros son importantes en el análisis complejo porque ayudan a identificar el comportamiento de una función.

Teorema de Liouville

Un resultado importante relacionado con las funciones analíticas es el teorema de Liouville. Establece que si f(z) es una función entera y está acotada, entonces f(z) debe ser constante. Esta es una propiedad notable que tiene implicaciones poderosas en el estudio de funciones analíticas.

Conclusión

Las funciones analíticas ocupan un lugar especial en el análisis complejo debido a su diferenciabilidad y representación en series de potencias. Tienen propiedades que permiten utilizarlas para resolver problemas complejos y hacer contribuciones importantes a campos como la ingeniería, la física y las matemáticas aplicadas. El rigor del marco proporcionado por el análisis complejo, especialmente a través de propiedades y teoremas sobre funciones analíticas, proporciona una comprensión profunda de los fenómenos matemáticos en el plano complejo.


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