जटिल संख्याएँ

गणित में जटिल संख्याओं को समझना पहली नज़र में थोड़ा कठिन लग सकता है। लेकिन एक सरल दृष्टिकोण और दृश्य सहायक उपकरण इस दिलचस्प विषय को समझने में आसान बनाते हैं।

जटिल संख्याएँ क्या हैं?

जटिल संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनमें ऋणात्मक एक का वर्गमूल शामिल होता है, i, जिसे काल्पनिक इकाई कहा जाता है। एक जटिल संख्या को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

a + bi

इस अभिव्यक्ति में, a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, जबकि i काल्पनिक इकाई है, जो यह संतुष्ट करता है:

i² = -1

यहाँ, a जटिल संख्या का वास्तविक भाग है, और b काल्पनिक भाग है। उदाहरण के लिए, जटिल संख्या 3 + 4i में, 3 वास्तविक भाग है और 4 काल्पनिक भाग है।

जटिल संख्याओं का दृश्य चित्रण

जटिल संख्याओं को जटिल तल पर दृश्य रूप से चित्रित किया जा सकता है। जटिल तल कैर्टेशियन निर्देशांक प्रणाली के समान है, लेकिन इसमें एक वास्तविक अक्ष और एक काल्पनिक अक्ष होता है। यहाँ जटिल संख्याओं को कैसे अंकित किया जाता है:

क्षैतिज अक्ष (x-अक्ष) वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष (y-अक्ष) जटिल संख्या के काल्पनिक भाग का प्रतिनिधित्व करता है। बिंदु (3, 4i) जटिल संख्या 3 + 4i के अनुसार है। उत्पत्ति से इस बिंदु तक की दूरी को जटिल संख्या की मापांक कहा जाता है।

जटिल संख्याओं से संबंधित संक्रियाएँ

जटिल संख्याओं को वास्तविक संख्याओं की तरह ही जोड़ा, घटाया, गुणा और भाग किया जा सकता है, लेकिन कुछ अतिरिक्त नियमों के साथ।

जोड़ और घटाव

जटिल संख्याओं का जोड़ और घटाव सरल होता है। आप वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ें या घटाएं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

(3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i

(5 + 3i) - (2 + 1i) = (5 - 2) + (3 - 1)i = 3 + 2i

गुणन

जटिल संख्याओं का गुणन विघट्य गुण का उपयोग करके और यह याद रखते हुए किया जाता है कि i² = -1। उदाहरण के लिए:

(3 + 4i) * (2 + i) = 3*2 + 3*i + 4i*2 + 4i*i

= 6 + 3i + 8i + 4(-1)

= 6 + 11i - 4

= 2 + 11i

भाग

भाग के लिए, आप अंश और हर को हर के सजातक से गुणा करें। a + bi का सजातक a - bi होता है।

(3 + 4i) / (1 + 2i)

हर के सजातक से अंश और हर को गुणा करें:

(3 + 4i) * (1 - 2i) / ((1 + 2i) * (1 - 2i))

गणना से प्राप्त परिणाम:

= (3*1 - 3*2i + 4i*1 - 4i*2i) / (1*1 - (2i)^2)

= (3 - 6i + 4i + 8) / (1 + 4)

= (11 - 2i) / 5

= 11/5 - (2/5)i

जटिल संख्या के मापांक और तर्क

हर जटिल संख्या की एक लंबाई होती है जिसे मापांक या परिपूरक मान कहा जाता है। यह जटिल तल पर किसी बिंदु से उत्पत्ति की दूरी है। a + bi का मापांक इस प्रकार दिया गया है:

|a + bi| = √(a² + b²)

जटिल संख्या 3 + 4i के लिए मापांक है:

|3 + 4i| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

जटिल संख्या का तर्क, जिसे अक्सर arg(z) के रूप में निरूपित किया जाता है, वह कोण है जिसे यह सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाता है। इसे आर्कटेंजेंट फलन का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

arg(a + bi) = arctan(b/a)

तर्क को आमतौर पर रेडियन में मापा जाता है।

जटिल सजातक

एक जटिल संख्या a + bi का जटिल सजातक a - bi होता है। यह काल्पनिक भाग के चिह्न को बदलकर पाया जाता है। जटिल सजातकों का विशेष गुण होता है, उदाहरण के लिए:

(a + bi) * (a - bi) = a² + b²

जटिल संख्याओं का ध्रुवीय रूप

जटिल संख्याओं को ध्रुवीय रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो गुणा और भाग के लिए विशेष रूप से उपयोगी है। ध्रुवीय रूप इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

r(cos θ + i sin θ)

जहां r मापांक है, और θ जटिल संख्या का तर्क है। इसे अक्सर ईलर के सूत्र का उपयोग करके इस प्रकार लिखा जाता है:

re^(iθ)

ध्रुवीय रूप में उदाहरण गणना

आइए 3 + 4i जटिल संख्या के उदाहरण पर विचार करें। सबसे पहले, हम मापांक और तर्क पाते हैं:

• मापांक: r = √(3² + 4²) = 5
• तर्क: θ = arctan(4/3)

ध्रुवीय रूप है:

5(cos(arctan(4/3)) + i sin(arctan(4/3)))

ईलर के रूप का उपयोग करते हुए:

5e^(i*arctan(4/3))

जटिल संख्याएँ महत्वपूर्ण क्यों हैं?

जटिल संख्याएँ गणित, इंजीनियरिंग और भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। वे बहुपद समीकरणों का हल प्रदान करती हैं जिनका वास्तविक संख्या समाधान नहीं होता और स्पंदनों, तरंगों, और बहुत कुछ समझने के लिए आवश्यक होती हैं।

निष्कर्ष

जटिल संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का विस्तार करती हैं और नकारात्मक वर्गमूल के साथ काम करके गणित में नई संभावनाएँ खोलती हैं। उनके बुनियादी संक्रियाओं और गुणों, जैसे मापांक, तर्क, और ध्रुवीय रूप को समझकर, आपके पास विज्ञान और इंजीनियरिंग में आगे के अनुप्रयोगों के लिए एक मजबूत आधार होगा।

यह जटिल संख्याओं का एक सरल परिचय था, जिसमें उनके बुनियादी गुणों और संक्रियाओं पर ध्यान केंद्रित किया गया था। जैसे-जैसे आप अपनी पढ़ाई को आगे बढ़ाएँगे, ये अवधारणाएँ गणित और संबंधित क्षेत्रों में अधिक उन्नत विषयों को समझने में महत्वपूर्ण होंगी।

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