実変数の関数

実解析において、実変数の関数は研究の基本的な対象です。関数とは、1つの集合の各要素をドメインとして、別の集合の要素と関連付ける関係です。実変数の関数を考えるとき、ドメインとコドメインの両方とも実数 R の部分集合です。

基本的な定義

実数の集合 D 上で定義された関数 f は次のように表されます:

f: D → R

すべての x ∈ D に対して、一意の実数 y = f(x) が存在します。ここで、D はドメインであり、すべての出力 f(x) の集合がレンジです。

例: 線形関数

単純な線形関数を考えてみましょう:

f(x) = 2x + 3

すべての実数 x について、関数は 2x + 3 を出力します。したがって、x = 2 の場合、f(2) = 2(2) + 3 = 7 です。

多項式関数

多項式関数は実変数の関数のもう一つの重要な例です。次の形式を持ちます:

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

ここで、a_0, a_1, ..., a_n は実数であり、n は非負整数です。多項式関数の特別なタイプは二次関数です。

例: 二次関数

二次関数を考えてみましょう:

f(x) = x^2 - 4x + 4

この関数はグラフ上で放物線として表されます。

連続性のある作業

関数 f は点 c で連続していると言います。すべての正の数 ε に対して、正の数 δ が存在し、もし |x - c| < δ ならば |f(x) - f(c)| < ε であるときです。直感的には、連続な関数のグラフは鉛筆を紙から離さずに描けます。

例: 連続関数

関数 f(x) = x^3 は、すべての実数に対して連続しています。

不連続な関数

関数 f は点 c において連続していない場合、それを不連続であると言います。これは、一部の点で「飛び」や「隙間」があることを意味します。

例: 階段関数

階段関数は不連続関数の古典的な例です:

f(x) = { 1 if x >= 0, 0 if x < 0 }

有界関数

関数 f は、有界であると言います。もし実数 M と m が存在し、ドメイン内のすべての x に対して m ≤ f(x) ≤ M である場合です。

例: サイン関数

有界関数の例として、サイン関数 f(x) = sin(x) があります。すべての実数 x に対して -1 ≤ sin(x) ≤ 1 なので、この関数は有界です。

単調関数

関数 f はそのドメイン上で単調であると言います。それは絶対的に非減少または非増加である場合です。f が非減少関数である場合、x_1 ≤ x_2 に対して f(x_1) ≤ f(x_2) です。f が非増加関数である場合、x_1 ≤ x_2 に対して f(x_1) ≥ f(x_2) です。

例: 指数関数

指数関数 f(x) = e^x は、単調増加関数の例です。

逆関数

逆関数は基本的に入力と出力の役割を逆にします。f が A から B への関数である場合、逆関数 f -1 は B から A への関数で、f(x) = y の場合に限り f -1 (y) = x となります。

例: 対数関数

指数関数 f(x) = e^x を考えてみましょう。その逆関数は自然対数関数 f -1 (x) = ln(x) です。

f(x) = e^x と f -1 (x) = ln(x) のグラフは直線 y = x に対して対称です。

まとめ

実変数の関数は実解析の礎となり、数学、工学、科学などの様々な分野において重要なツールとなっています。連続、単調、有界、逆関数のいずれであっても、各関数は入力と出力の間の独自の関係を表します。これらの概念を理解することは、実数に関連する数学的関係を分析し解釈するために非常に重要です。

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