वास्तविक चर के फ़ंक्शन

वास्तविक विश्लेषण में, वास्तविक चर के फ़ंक्शन अध्ययन की मूलभूत वस्तुएं हैं। एक फ़ंक्शन एक संबंध है जो एक सेट के प्रत्येक तत्व को, जिसे डोमेन कहा जाता है, दूसरे सेट के एक तत्व के साथ जोड़ता है, जिसे कोडोमेन कहा जाता है। जब किसी वास्तविक चर के फ़ंक्शन पर विचार किया जाता है, तो डोमेन और कोडोमेन दोनों वास्तविक संख्याओं R के उपसमुच्चय होते हैं।

मूल परिभाषाएँ

वास्तविक संख्याओं के सेट D पर परिभाषित फ़ंक्शन f को निम्नलिखित तरीके से व्यक्त किया जाता है:

f: D → R

प्रत्येक x ∈ D के लिए एक अद्वितीय वास्तविक संख्या y = f(x) होती है। यहाँ, D डोमेन है, और सभी आउटपुट f(x) का सेट रेंज है।

उदाहरण: रैखिक फ़ंक्शन

एक सरल रैखिक फ़ंक्शन पर विचार करें:

f(x) = 2x + 3

प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए, फ़ंक्शन आउटपुट 2x + 3 देता है। इसलिए, x = 2 के लिए, f(2) = 2(2) + 3 = 7।

बहुपद फ़ंक्शन

बहुपद फ़ंक्शन वास्तविक चर के फ़ंक्शनों का एक और महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। यह निम्नलिखित रूप में होता है:

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

जहाँ a_0, a_1, ..., a_n वास्तविक संख्याएँ हैं, और n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। बहुपद फ़ंक्शन का एक विशेष प्रकार है द्विघात फ़ंक्शन।

उदाहरण: द्विघात फ़ंक्शन

द्विघात फ़ंक्शन पर विचार करें:

f(x) = x^2 - 4x + 4

यह फ़ंक्शन ग्राफ पर एक परवलय से प्रदर्शित होता है।

सतत कार्य

एक फ़ंक्शन f किसी बिंदु c पर सतत होता है यदि प्रत्येक सकारात्मक संख्या ε के लिए, एक सकारात्मक संख्या δ होती है ताकि यदि |x - c| < δ, तो |f(x) - f(c)| < ε। स्वाभाविक रूप से, एक सतत फ़ंक्शन के ग्राफ को बिना पेंसिल उठाए हुए कागज से खींचा जा सकता है।

उदाहरण: सतत फ़ंक्शन

फ़ंक्शन f(x) = x^3 के लिए, यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।

असतत कार्य

एक फ़ंक्शन f किसी बिंदु c पर असतत होता है यदि वह c पर सतत नहीं होता है। इसका मतलब है कि कुछ बिंदुओं पर "उछाल" या "अंतराल" हो सकते हैं।

उदाहरण: स्टेप फ़ंक्शन

स्टेप फ़ंक्शन एक असतत फ़ंक्शन का क्लासिक उदाहरण है:

f(x) = { 1 if x >= 0, 0 if x < 0 }

सीमित फ़ंक्शन

एक फ़ंक्शन f को सीमित कहा जाता है यदि ऐसे वास्तविक संख्याएं M और m होती हैं ताकि सभी x डोमेन में, m ≤ f(x) ≤ M।

उदाहरण: साइन फ़ंक्शन

सीमित फ़ंक्शन का एक उदाहरण है साइन फ़ंक्शन, f(x) = sin(x)। यह सीमित है क्योंकि सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए, -1 ≤ sin(x) ≤ 1।

एकरूप कार्य

एक फ़ंक्शन f को एकरूप कहा जाता है यदि यह अपने डोमेन पर पूरी तरह से गैर-घटी और गैर-बढ़ती हो। यदि f गैर-घटी है, तो x_1 ≤ x_2 के लिए, हमारे पास f(x_1) ≤ f(x_2) है। यदि f गैर-बढ़ती है, तो x_1 ≤ x_2 के लिए, हमारे पास f(x_1) ≥ f(x_2) है।

उदाहरण: घातीय फ़ंक्शन

घातीय फ़ंक्शन f(x) = e^x एक एकरूप बढ़ती फ़ंक्शन का उदाहरण है।

प्रतिलोम फ़ंक्शन

प्रतिलोम फ़ंक्शन अनिवार्य रूप से इनपुट और आउटपुट की भूमिकाएं उलट देता है। यदि f एक फ़ंक्शन A से B है, तो प्रतिलोम फ़ंक्शन f -1 एक फ़ंक्शन B से A है ताकि प्रत्येक y ∈ B के लिए, f -1 (y) = x तब और केवल तब होता है जब f(x) = y।

उदाहरण: लघुगणक फ़ंक्शन

घातीय फ़ंक्शन f(x) = e^x पर विचार करें। इसका प्रतिलोम प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन f -1 (x) = ln(x) है।

f(x) = e^x और f -1 (x) = ln(x) के ग्राफ y = x के रेखा के प्रति सममित होते हैं।

समापन विचार

वास्तविक चर के फ़ंक्शन वास्तविक विश्लेषण की नींव बनाते हैं और गणित, इंजीनियरिंग और विज्ञान सहित विभिन्न विषयों में अनिवार्य उपकरण के रूप में कार्य करते हैं। चाहे वे सतत हों, एकरूप हों, सीमित हों, या प्रतिलोम हों, प्रत्येक फ़ंक्शन इनपुट और आउटपुट के बीच एक अद्वितीय संबंध व्यक्त करता है। इन अवधारणाओं को समझना वास्तविक संख्याओं को शामिल करने वाले गणितीय संबंधों का विश्लेषण और व्याख्या करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

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