勒贝格积分

勒贝格积分是实分析中的一个基本概念，在概率论、泛函分析等多个数学领域具有深远的应用意义。与黎曼积分相比，勒贝格积分为函数积分提供了一个更为强大和灵活的框架，尤其是在黎曼积分不足之处。 本课程将通过简单的语言、例子和形象化的可视化图解带您了解勒贝格积分的基本思想和构建方法。

积分概念简介

从本质上讲，积分是关于在某一特定域上累积量的计算。例如，如果您将曲线看作图表上的一条曲线，积分就计算该曲线在给定区间下的面积。 你可能熟悉的黎曼积分，通过将区间划分为小段并加上矩形来估算曲线下的面积。

黎曼积分的挑战

虽然黎曼积分适用于许多函数，但对于某些函数尤其是有很多不连续点或在无穷多个点上定义但整体表现不佳的函数却无法应对。

奠定基础：可测动作

要理解勒贝格积分，我们首先需要引入一些关键的数学概念：测度和可测函数。

测度理论基础

从广义上讲，测度是为给定集的子集分配代表大小的数字的一种系统方法。最熟悉的测度是实线段的长度，即“勒贝格测度”。 如果其长度在此意义下可以很好定义，则称一个集合是可测的。

勒贝格积分介绍

勒贝格积分更关注于测量函数的垂直“切片”，而不是像黎曼那样对域进行水平划分。该过程被分解为以下几个关键概念：

• 简单函数：这些是取有限多个值的函数，通常使用可测集上的指示函数。它们是勒贝格积分的基本构建模块。
• 可测函数：如果每个区间的原像都是一个可测集，则该函数是可测的。这是进行勒贝格积分的重要前提条件。
• 简单函数的勒贝格积分：在每个可测集中计算简单函数的积分，即函数值与集合测度的乘积的和。

通过这些准备知识，我们可以通过将复杂函数理解为简单函数序列的极限来正式定义勒贝格积分。

简单函数示例

假设 ( f(x) ) 是定义在区间 [0, 1] 上的简单函数：
f(x) = 
  begin{cases}
    3, & text{如果 $x in [0, 0.5)$} 
    7, & text{如果 $x in [0.5, 1]$}
  end{cases}

利用勒贝格积分，此简单函数在 [0, 1] 上的积分为：

从 0 到 1 的积分 ∫ ( f(x) , dx ) = 3 × m([0,0.5)) + 7 × m([0.5,1]) = 3×0.5 + 7×0.5 = 5

勒贝格积分的构造

勒贝格积分的主要思想是将函数的像分解为各部分，并衡量输入对这些输出部分的贡献大小。让我们分解这一过程：

非负可测函数的积分

对于测度集 (E) 上的非负可测函数 (f)，我们可以定义勒贝格积分如下：

• 将 ( f ) 表示为简单函数递增序列的极限 ( f_n ) 使得 ( f_n to f ) 点对点。
• 在 ( E ) 上积分每个简单函数 ( f_n )：( int_E f_n(x) , dx )。
• 勒贝格积分是这些积分的极限：∫_E f(x) , dx = lim_{n→∞} ∫_E f_n(x) , dx

勒贝格积分的示例

示例 1：阶跃函数

阶跃函数在不同值之间跳跃，可以被视为简单函数。考虑：

f(x) = 
  begin{cases}
    2, & text{如果 $x in [0, 1]$} 
    5, & text{如果 $x in (1, 3]$}
  end{cases}

为了在 ([0,3]) 上找到勒贝格积分，计算:

从 0 到 3 的积分 ∫ ( f(x) , dx ) = 2×m([0,1]) + 5×m((1,3]) = 2×1 + 5×2 = 12

示例 2：指示函数

集合 A 的指示函数 (chi_A(x)) 定义为：

 chi_A(x) = 
  begin{cases}
    1, & text{如果 $x in A$} \
    0, & text{其他情况}
  end{cases}

假设 A 是可测的并且我们想要在 ([0,2]) 上积分：

从 0 到 2 的积分 ∫ ( chi_A(x) , dx = m(A cap [0,2]) )

对一般函数的扩展

对于任何实值函数，我们可以将其表示为两个非负函数之差：

f(x) = f^+(x) - f^-(x)

其中：

f^+(x) = max(f(x), 0)
f^-(x) = max(-f(x), 0)

然后我们可以定义 ( f ) 的勒贝格积分如下：

∫_E f(x) , dx = ∫_E f^+(x) , dx - ∫_E f^-(x) , dx

比较：勒贝格积分与黎曼积分

为了欣赏勒贝格积分的多功能性，让我们将其与黎曼积分进行比较：

• 函数范围: 勒贝格积分可以处理包括具有无限多个不连续点的广泛类函数。
• 收敛性: 勒贝格的极大收敛定理在某些情况下提供了可交换极限和积分的工具，它们比黎曼意义更具限制性。
• 测度论: 勒贝格积分基于测量，使得它适用于概率和统计应用，在这种情况下，测量决定行为。

主导收敛定理

勒贝格积分与其他积分的一个显著区别是主导收敛定理（DCT）。 它表明如果可测函数序列 ( f_n(x) ) 点收敛于 ( f(x) ) 并且受一个可积函数 ( g(x) ) 主导（即 ( |f_n(x)| leq g(x) ) 对于所有 ( n )），那么：

lim_{n→∞} ∫_E f_n(x) , dx = ∫_E lim_{n→∞} f_n(x) , dx

这种灵活性在许多分析领域中非常有用，在这些领域中我们处理极限并希望在不超出可积函数领域的情况下在积分符号下取极限。

视觉示例

结论

勒贝格积分扩展了我们在数学上的工具箱，提供了一种强大方法来解决黎曼积分无法解决的任务。 通过对测度论的依赖以及对函数值分布而不是域划分的关注，勒贝格积分扩展了我们在数学上的工具箱，提供了一种强大方法来解决黎曼积分无法解决的任务。反过来，它为更复杂的分析打开了大门，尤其是在概率学和基于测度的微积分等领域。 这种方法丰富了我们的理解，提供了一个一致的框架，可用于描述非确定性、不连续或其他复杂的函数。使得处理起来更容易。

熟悉勒贝格积分是深入理解分析的一大步，为处理自然不总是按照简单规则运作的实际应用提供了工具。

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