Интеграл Лебега

Интеграл Лебега является фундаментальной концепцией в математическом анализе и имеет глубокие приложения в различных математических областях, включая теорию вероятностей, функциональный анализ и не только. По сравнению с интегралом Римана, интеграл Лебега предоставляет более мощную и универсальную структуру для интегрирования функций, особенно там, где интеграл Римана недостаточен. Этот урок проведет вас через основные идеи и построение интеграла Лебега, используя простой язык, примеры и наглядные иллюстрации.

Введение в понятия интегрирования

По своей сути, интегрирование касается накопления количеств на определенной области. Например, если рассматривать кривую на графике, интегрирование вычисляет площадь под этой кривой в заданном интервале. Интеграл Римана, с которым вы, возможно, уже знакомы, включает в себя деление области на интервалы и добавление прямоугольников для оценки площади под кривой.

Проблемы с интегрированием по Риману

Хотя интеграл Римана успешно применяется для многих функций, он сталкивается с трудностями при работе с некоторыми функциями, особенно теми, которые имеют много разрывов или определены в бесконечном числе точек, но ведут себя плохо в течение времени.

Подготовительный этап: Измеримые действия

Чтобы понять интеграл Лебега, сначала необходимо ввести некоторые ключевые математические понятия: мера и измеримые функции.

Основы теории меры

В широком смысле, мера — это систематический способ присвоения чисел, представляющих размер, подмножествам заданного множества. Наиболее знакомая мера — это длина интервалов на действительной линии, или "мера Лебега". Множество считается измеримым, если его длина может быть четко определена в этом смысле.

Введение в интеграл Лебега

Интеграл Лебега фокусируется на измерении вертикальных "срезов" функции, а не горизонтальных разделов области, как в случае с интегралом Римана. Этот процесс разлагается на следующие ключевые концепции:

• Простые функции: Это функции, принимающие конечное число значений, часто используя индикаторные функции на измеримых множествах. Они являются строительными блоками интеграла Лебега.
• Измеримая функция: Если прообраз каждого интервала является измеримым множеством, то функция измерима. Это важное предварительное условие для интегрирования по Лебегу.
• Интегрирование простых функций по Лебегу: Интеграл простой функции вычисляется на каждом измеримом множестве как сумма произведения значения функции и меры множества.

С этими предварительными данными мы можем формально определить интеграл Лебега для более сложных функций, рассматривая их как пределы последовательностей более простых функций.

Пример простой функции

Предположим, что ( f(x) ) — простая функция, определенная на интервале [0, 1]:
f(x) = 
  begin{cases}
    3, & text{если $x in [0, 0.5)$} 
    7, & text{если $x in [0.5, 1]$}
  end{cases}

Интеграл этой простой функции на [0, 1] с использованием интеграла Лебега выглядит следующим образом:

∫ от 0 до 1 ( f(x) , dx ) = 3 × m([0,0.5)) + 7 × m([0.5,1]) = 3×0.5 + 7×0.5 = 5

Построение интеграла Лебега

Основная идея интеграла Лебега состоит в разложении изображения функции на части и измерении того, насколько входные данные способствуют этим выходным частям. Рассмотрим этот процесс поэтапно:

Интегрирование неотрицательных измеримых функций

Для неотрицательной измеримой функции (f) на измеримом множестве (E) можно определить интеграл Лебега следующим образом:

• Представьте ( f ) как предел возрастающей последовательности простых функций ( f_n ), таких что ( f_n to f ) поточечно.
• Интегрируйте каждую простую функцию ( f_n ) над ( E ): ( int_E f_n(x) , dx ).
• Интеграл Лебега является пределом этих интегралов: ∫_E f(x) , dx = lim_{n→∞} ∫_E f_n(x) , dx

Примеры интегрирования по Лебегу

Пример 1: Ступенчатая функция

Ступенчатая функция скачет между значениями и может рассматриваться как простая функция. Рассмотрим:

f(x) = 
  begin{cases}
    2, & text{если $x in [0, 1]$} 
    5, & text{если $x in (1, 3]$}
  end{cases}

Чтобы найти интеграл Лебега по ([0,3]), вычислите:

∫ от 0 до 3 ( f(x) , dx ) = 2×m([0,1]) + 5×m((1,3]) = 2×1 + 5×2 = 12

Пример 2: Индикаторная функция

Индикаторная функция (chi_A(x)) множества A определяется как:

 chi_A(x) = 
  begin{cases}
    1, & text{если $x in A$} \
    0, & text{в другом случае}
  end{cases}

Предположим, что A измеримо и мы хотим интегрировать по ([0,2]):

∫ от 0 до 2 ( chi_A(x) , dx = m(A cap [0,2]) )

Расширение на общие функции

Для любой действительной функции можно выразить её как разницу двух неотрицательных функций:

f(x) = f^+(x) - f^-(x)

Где:

f^+(x) = max(f(x), 0)
f^-(x) = max(-f(x), 0)

Тогда можно определить интеграл Лебега ( f ) следующим образом:

∫_E f(x) , dx = ∫_E f^+(x) , dx - ∫_E f^-(x) , dx

Сравнение: интегралы Лебега и Римана

Для понимания универсальности интеграла Лебега сравним его с интегралом Римана:

• Область функций: Интегрирование по Лебегу может обрабатывать более широкий класс функций, включая функции с бесконечным числом разрывов.
• Сходимость: Теорема максимальной сходимости Лебега предоставляет инструменты для обмена пределами и интегралами в некоторых случаях, которые более ограничены, чем в смысле Римана.
• Теория меры: Лебег интегрирует на основе измерений, что делает его подходящим для вероятностных и статистических приложений, где измерения определяют поведение.

Теорема доминирующей сходимости

Одним из примечательных результатов, отличающих интеграл Лебега, является Теорема доминирующей сходимости (DCT). Она утверждает, что если последовательность измеримых функций ( f_n(x) ) сходится поточечно к ( f(x) ) и доминируется интегрируемой функцией ( g(x) ) (т.е., ( |f_n(x)| leq g(x) ) для всех ( n )), то:

lim_{n→∞} ∫_E f_n(x) , dx = ∫_E lim_{n→∞} f_n(x) , dx

Эта гибкость чрезвычайно полезна в различных областях анализа, где мы имеем дело с пределами и хотим взять пределы под знаком интеграла, не выходя за пределы интегрируемых функций.

Визуальный пример

Заключение

Интеграл Лебега расширяет наш математический инструментарий, предоставляя мощный способ решения задач, которые не могут быть решены с помощью интеграла Римана. Благодаря своей зависимости от теории меры и фокуса на распределении значений функции, а не на разбиении областей, интеграл Лебега значительно расширяет наши аналитические возможности. Этот подход открывает двери для более сложного анализа, особенно в таких областях, как теория вероятностей и исчисление, основанное на измерениях, обогащая наше понимание и предоставляя связную структуру для описания недетерминированных, разрывных или иначе сложных функций. Это упрощает работу с ними.

Ознакомление с интегралом Лебега — это значительный шаг вперед в понимании анализа на более глубоком уровне, предоставляющий инструменты для решения реальных приложений, где природа не всегда работает по простым правилам.

комментарии