ルベーグ積分

ルベーグ積分は、実解析における基本概念であり、確率論、関数解析などのさまざまな数学の分野で深い応用を持っています。リーマン積分と比較して、ルベーグ積分は、特にリーマン積分が不足する点において、関数を積分するためのより強力で多用途な枠組みを提供します。このレッスンでは、シンプルな言葉、例、視覚的な説明を使って、ルベーグ積分の基本的な考え方と構築を紹介します。

積分の概念紹介

基本的に、積分はある特定の領域にまたがって量を累積することです。たとえば、グラフ上の曲線を考えた場合、積分はその曲線の下の面積を特定の区間にわたって計算します。おなじみのリーマン積分は、領域を区間に分割し、その曲線の下の面積を推定するために長方形を加えることに関係しています。

リーマン積分の課題

リーマン積分は多くの関数に対してうまく機能しますが、特に無限の不連続点を持つ関数や、あまりよく振る舞わない無限の不連続な点を持つ関数では苦労します。

導入:可測な行動

ルベーグ積分を理解するためには、まずは測度と可測関数というキーとなる数学的考えを紹介する必要があります。

測度理論の基本

広義には、測度とは与えられた集合の部分集合にサイズを表す数を体系的に割り当てる方法です。最も馴染みのある測度は実数直線の区間の長さ、または「ルベーグ測度」です。集合が可測であるとは、この意味でその長さを定義できる場合を指します。

ルベーグ積分の紹介

ルベーグ積分は、リーマンの場合のような領域の水平分割ではなく、関数の垂直「スライス」を測定することに集中しています。このプロセスは以下の主要な概念に分解されます：

• 単純関数: これらは有限の値を取る関数で、可測集合上の指示関数を利用することが多いです。ルベーグ積分の積分の基本ブロックです。
• 可測関数: すべての区間の逆像が可測集合である場合、その関数は可測です。これはルベーグ積分のための重要な事前条件です。
• 単純関数のルベーグ積分: 可測集合ごとに単純関数の積分は、関数の値と集合の測度の積の和として計算されます。

これらの前提を踏まえて、より複雑な関数に対してルベーグ積分を定義することができます。

単純関数の例

仮に ( f(x) ) が区間 [0, 1] で定義された単純関数とすると：
f(x) = 
  begin{cases}
    3, & text{if $x in [0, 0.5)$} 
    7, & text{if $x in [0.5, 1]$}
  end{cases}

ルベーグ積分を使ったこの単純関数の [0, 1] 上での積分は：

∫ from 0 to 1 ( f(x) , dx ) = 3 × m([0,0.5)) + 7 × m([0.5,1]) = 3×0.5 + 7×0.5 = 5

ルベーグ積分の構築

ルベーグ積分の主な考えは、関数のイメージを部分に分解し、入力がそれらの出力部分にどのように寄与するかを測定することです。このプロセスを分解してみましょう：

非負の可測関数の積分

可測集合 (E)上の非負の可測関数 (f) に対して、ルベーグ積分は以下のように定義できます：

• 関数 ( f ) を、単純関数 ( f_n ) の増加する列の極限として表現します。( f_n to f ) は点毎に成立します。
• 各単純関数 ( f_n ) を ( E ) 上で積分します： ( int_E f_n(x) , dx )。
• ルベーグ積分はこれらの積分の極限です：∫_E f(x) , dx = lim_{n→∞} ∫_E f_n(x) , dx

ルベーグ積分の例

例 1: ステップ関数

ステップ関数は値の間を飛び跳ねるため、単純関数として見なすことができます。

f(x) = 
  begin{cases}
    2, & text{if $x in [0, 1]$} 
    5, & text{if $x in (1, 3]$}
  end{cases}

([0,3]) 上のルベーグ積分を求めるには、次のように計算します：

∫ from 0 to 3 ( f(x) , dx ) = 2×m([0,1]) + 5×m((1,3]) = 2×1 + 5×2 = 12

例 2: 指示関数

集合 A の指示関数 (chi_A(x)) は次のように定義されます：

 chi_A(x) = 
  begin{cases}
    1, & text{if $x in A$} \
    0, & text{otherwise}
  end{cases}

Aが可測であり、([0,2]) 上で積分したいと仮定すると：

∫ from 0 to 2 ( chi_A(x) , dx = m(A cap [0,2]) )

一般関数への拡張

任意の実数値関数について、2つの非負関数の差として表現することができます：

f(x) = f^+(x) - f^-(x)

ここで：

f^+(x) = max(f(x), 0)
f^-(x) = max(-f(x), 0)

すると、( f ) のルベーグ積分を次のように定義できます：

∫_E f(x) , dx = ∫_E f^+(x) , dx - ∫_E f^-(x) , dx

比較: ルベーグとリーマン積分

ルベーグ積分の多用途性を理解するために、リーマン積分と比較してみましょう：

• 関数の範囲:ルベーグ積分は、無限の不連続点を含む関数を含む広いクラスの関数を処理できます。
• 収束:ルベーグの最大収束定理は、ある状況下で限界と積分を交換するツールを提供し、リーマン的な意味よりも制限されます。
• 測度理論:ルベーグは測定に基

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