极限与连续性
介绍
在实分析中，极限和连续性的概念是基本的。它们为微积分提供了基础，使我们能够理解函数在感兴趣的点附近的行为。极限的思想涉及确定函数在接近输入值时所接近的值。连续性基于极限，定义了何时可以在不抬起笔的情况下画出一个函数。
理解极限
极限是函数 f(x) 随 x 趋近于某一点时所达到的值。这是一种讨论当我们接近某一点时发生什么，但不一定说明我们将到达该点的方法。
极限的正式定义
让我们定义数学上函数具有极限的意义。假设 f(x) 是一个函数，a 是其定义域中的一个点。我们说 f(x) 随 x 趋于 a 的极限是 L，我们写作：
lim (x → a) f(x) = l
这意味着对于每个 ε > 0，无论多小，存在一个 δ > 0，使得如果 0 < |x - a| < δ，则 |f(x) - L| < ε
示例1：常数函数的极限
考虑常数函数 f(x) = 5 我们可以找到 x 趋近于任意点 a 的极限。
lim (x → a) f(x) = 5
函数的值始终为5，无论 x 如何，因此极限是5。
单侧极限
有时只研究从一侧的极限，即左侧或右侧，这些称为单侧极限。
- 右侧极限写作：
lim (x → a + ) f(x) - 左侧极限写作：
lim (x → a - ) f(x)
示例2：单侧极限
考虑一个分段定义的函数：
f(x) = {
2x + 1, if x < 2;
3x – 1, if x ≥ 2.
,
找到 x = 2 处的单侧极限：
- lim (x → 2 - ) f(x) = 2(2) + 1 = 5
- lim (x → 2 + ) f(x) = 3(2) - 1 = 5
两个单侧极限都等于5，所以 x = 2 处的双侧极限也是5。
可视化极限
使用图形可以帮助直观理解极限。考虑在接近点 a 时函数的图形。
在这个图中，当 x 从两侧接近 a 时，函数的值接近红点的高度。这个高度表示极限。
工作的延续
连续性意味着光滑。从直观上讲，连续函数意味着可以不抬起笔画出其图像。在数学上，如果函数 f(x) 在某一点 a 连续，则有：
f(a)是定义的。lim (x → a) f(x)存在。lim (x → a) f(x) = f(a).
示例3：多项式
多项式如 f(x) = x^2 + 2x + 1 在其定义域内处处连续。对于任意实数 a，f(a) 是定义的，x → a 的极限就是在 a 处计算多项式的值。
不连续性
如果函数在某一点不连续，则它是不连续的。有几种不连续类型：
- 点不连续： 极限存在，但
f(a)要么未定义要么不等于极限。 - 跳跃不连续： 左侧和右侧极限存在，但不相等。
- 无穷不连续：当
x接近a时，函数趋于无穷。
示例4：阶梯函数
考虑阶跃函数：
f(x) = {
1, if x < 0;
2, if x ≥ 0.
,
在 x = 0 处，极限不存在，因为：
- lim (x → 0 - ) f(x) = 1
- lim (x → 0 + ) f(x) = 2
因此，f(x) 在 x = 0 处有一个跳跃不连续。
连续性的概念
连续性可以通过平滑连接图中的每个点来观察。下面是一个可视化示例：
图在 a（蓝点）处是连续的，因为没有中断或空洞，而在 b（红点）处有中断，表明不连续。
结论
极限和连续性是实分析中的重要概念。极限帮助我们理解函数在特定点附近的行为，而连续性确保函数在没有任何突变的情况下以可预测的方式表现。这些基础为微积分中的高级主题，如导数和积分，铺平了道路。理解它们的细微差别及其相互关系是掌握真实分析领域的关键。
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