Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Limites e continuidade


Introdução

Na análise real, os conceitos de limite e continuidade são fundamentais. Eles fornecem a base para o cálculo e nos permitem entender como as funções se comportam perto de pontos de interesse. A ideia de limite envolve determinar o valor que uma função se aproxima à medida que se aproxima de um valor da entrada. A continuidade é baseada em limites, definindo quando uma função pode ser desenhada sem levantar a caneta do papel.

Compreendendo as limitações

O limite é o valor que a função f(x) se aproxima à medida que x se aproxima de um número. É uma maneira de discutir o que acontece à medida que nos aproximamos de um determinado ponto, sem necessariamente dizer que chegaremos a esse ponto.

Definição formal de limite

Vamos definir o que significa matematicamente para uma função ter um limite. Suponha que f(x) seja uma função e a seja um ponto dentro do seu domínio. Dizemos que o limite de f(x) à medida que x se aproxima de a é L, e escrevemos:

    lim (x → a) f(x) = l

Isso significa que para cada número ε > 0, não importa quão pequeno, existe um número δ > 0 tal que se 0 < |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε

Exemplo 1: Limite de uma função constante

Considere a função constante f(x) = 5 Podemos encontrar o limite à medida que x se aproxima de qualquer ponto a.

        lim (x → a) f(x) = 5

O valor da função é sempre 5, independente de x, portanto o limite é 5.

Limites unilaterais

Às vezes, é útil observar o limite apenas de um lado, seja da esquerda ou da direita. Estes são chamados de limites unilaterais.

  • O limite pela direita é escrito como: lim (x → a + ) f(x)
  • O limite à esquerda é escrito como: lim (x → a - ) f(x)

Exemplo 2: Limite unilateral

Considere uma função definida em partes:

        f(x) = {
            2x + 1, se x < 2;
            3x – 1, se x ≥ 2.
        ,

Para encontrar o limite unilateral em x = 2 :

  • lim (x → 2 - ) f(x) = 2(2) + 1 = 5
  • lim (x → 2 + ) f(x) = 3(2) - 1 = 5

Ambos os limites unilaterais são iguais a 5, então o limite bilateral em x = 2 também é 5.

Visualizando os limites

Usar gráficos pode ajudar a entender os limites de forma intuitiva. Considere o gráfico da função à medida que se aproxima de um ponto a.

A

Neste diagrama, à medida que x se aproxima de a de qualquer lado, o valor da função se aproxima da altura do ponto vermelho. Essa altura representa o limite.

Continuação dos trabalhos

Continuidade significa suavidade. Intuitivamente, uma função contínua significa que você pode graficá-la sem levantar a caneta. Matematicamente, uma função f(x) é contínua em um ponto a se:

  • f(a) está definido.
  • lim (x → a) f(x) existe.
  • lim (x → a) f(x) = f(a).

Exemplo 3: Polinômio

Polinômios como f(x) = x^2 + 2x + 1 são contínuos em todo o seu domínio. Para qualquer número real a, f(a) está definido, e o limite à medida que x → a é simplesmente a avaliação do polinômio em a.

Descontinuidades

Se uma função não for contínua em um ponto, ela é descontínua. Existem vários tipos de descontinuidade:

  • Descontinuidade pontual: O limite existe, mas f(a) não está definido ou não é igual ao limite.
  • Descontinuidade de salto: os limites esquerdo e direito existem, mas não são iguais.
  • Descontinuidade infinita: A função aproxima-se do infinito à medida que x se aproxima de a.

Exemplo 4: Função degrau

Considere a função degrau:

        f(x) = {
            1, se x < 0;
            2, se x ≥ 0.
        ,

Em x = 0, o limite não existe porque:

  • lim (x → 0 - ) f(x) = 1
  • lim (x → 0 + ) f(x) = 2

Portanto, f(x) tem uma descontinuidade de salto em x = 0.

A ideia de continuidade

A continuidade pode ser vista conectando cada ponto do gráfico suavemente. Abaixo está uma visualização:

A B

O gráfico é contínuo em a (ponto azul) pois não há quebra ou buraco, enquanto há uma quebra em b (ponto vermelho), indicando descontinuidade.

Conclusão

Limites e continuidade são conceitos importantes na análise real. Os limites nos ajudam a entender o comportamento de uma função perto de pontos específicos, enquanto a continuidade garante que as funções se comportem de maneira previsível, sem mudanças abruptas. Estas bases abrem caminho para tópicos avançados, como derivadas e integrais no cálculo. Compreender suas nuances e como se inter-relacionam é a chave para dominar o campo da análise real.


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