Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario → Análisis Real → Funciones de variables reales ↓


Límites y continuidad


Introducción

En el análisis real, los conceptos de límite y continuidad son fundamentales. Proporcionan la base para el cálculo y nos permiten entender cómo se comportan las funciones cerca de los puntos de interés. La idea del límite implica determinar el valor al que se aproxima una función a medida que se aproxima a un valor de la entrada. La continuidad se basa en los límites, definiendo cuándo se puede dibujar una función sin levantar el lápiz del papel.

Entendiendo las limitaciones

El límite es el valor al que se aproxima la función f(x) a medida que x se aproxima a un número. Es una manera de discutir lo que sucede a medida que nos acercamos a un cierto punto, sin necesariamente decir que alcanzaremos ese punto.

Definición formal de límite

Vamos a definir qué significa matemáticamente que una función tenga un límite. Supongamos que f(x) es una función, y a es un punto dentro de su dominio. Decimos que el límite de f(x) a medida que x se aproxima a a es L, y escribimos:

    lim (x → a) f(x) = l

Esto significa que para cada número ε > 0, no importa cuán pequeño sea, existe un número δ > 0 tal que si 0 < |x - a| < δ, entonces |f(x) - L| < ε

Ejemplo 1: Límite de una función constante

Consideremos la función constante f(x) = 5. Podemos encontrar el límite a medida que x se aproxima a cualquier punto a.

        lim (x → a) f(x) = 5

El valor de la función siempre es 5, independientemente de x, por lo que el límite es 5.

Límites laterales

A veces es útil observar el límite desde solo un lado, ya sea el izquierdo o el derecho. Estos se llaman límites laterales.

  • El límite por la derecha se escribe como: lim (x → a + ) f(x)
  • El límite por la izquierda se escribe como: lim (x → a - ) f(x)

Ejemplo 2: Límite lateral

Consideremos una función definida por tramos:

        f(x) = {
            2x + 1, si x < 2;
            3x – 1, si x ≥ 2.
        ,

Para encontrar el límite lateral en x = 2 :

  • lim (x → 2 - ) f(x) = 2(2) + 1 = 5
  • lim (x → 2 + ) f(x) = 3(2) - 1 = 5

Ambos límites laterales son iguales a 5, por lo que el límite bilateral en x = 2 también es 5.

Visualizando los límites

Usar gráficos puede ayudar a entender los límites de manera intuitiva. Considere el gráfico de la función a medida que se aproxima a un punto a.

A

En este diagrama, a medida que x se aproxima a a desde cualquier lado, el valor de la función se aproxima a la altura del punto rojo. Esta altura representa el límite.

Continuación de trabajos

Continuidad significa suavidad. Intuitivamente, una función continua significa que puedes graficarla sin levantar el lápiz. Matemáticamente, una función f(x) es continua en un punto a si:

  • f(a) está definido.
  • Existe lim (x → a) f(x).
  • lim (x → a) f(x) = f(a).

Ejemplo 3: Polinomio

Los polinomios como f(x) = x^2 + 2x + 1 son continuos en todas partes de su dominio. Para cualquier número real a, f(a) está definido, y el límite cuando x → a es simplemente la evaluación del polinomio en a.

Discontinuidades

Si una función no es continua en un punto, es discontinua. Hay varios tipos de discontinuidad:

  • Discontinuidad de punto: El límite existe, pero f(a) no está definido o no es igual al límite.
  • Discontinuidad de salto: el límite izquierdo y derecho existen, pero no son iguales.
  • Discontinuidad infinita: La función se aproxima al infinito a medida que x se aproxima a a.

Ejemplo 4: Función escalón

Considere la función escalón:

        f(x) = {
            1, si x < 0;
            2, si x ≥ 0.
        ,

En x = 0, el límite no existe porque:

  • lim (x → 0 - ) f(x) = 1
  • lim (x → 0 + ) f(x) = 2

Por lo tanto, f(x) tiene una discontinuidad de salto en x= 0.

La idea de continuidad

La continuidad se puede ver conectando suavemente cada punto del gráfico. A continuación se presenta una visualización:

A B

El gráfico es continuo en a (punto azul) ya que no hay ruptura o agujero, mientras que hay una ruptura en b (punto rojo), indicando discontinuidad.

Conclusión

Los límites y la continuidad son conceptos importantes en el análisis real. Los límites nos ayudan a entender el comportamiento de una función cerca de puntos específicos, mientras que la continuidad garantiza que las funciones se comporten de manera predecible sin cambios abruptos. Estos fundamentos allanan el camino para temas avanzados como derivadas e integrales en cálculo. Comprender sus matices y cómo están interrelacionados es la clave para dominar el campo del análisis real.


Universitario → 4.2.1


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (4.2)
Funciones de variables reales
Siguiente (4.2.2) →
Comprendiendo la continuidad uniforme

Comentarios 



Límites y continuidad

https://www.buddymath.com/ug/4.2.1?bmal=es