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समरूपी अभिसरण
वास्तविक विश्लेषण में अनुक्रमों और कार्यों की श्रृंखलाओं के अध्ययन में समरूपी अभिसरण की अवधारणा को समझना महत्वपूर्ण है। गणित में, विशेष रूप से कार्यों के संदर्भ में, अभिसरण इस विचार को संदर्भित करता है कि कार्यों का एक अनुक्रम अनुक्रम के प्रगति के साथ एक निश्चित मान तक पहुँचता है। कार्य की ओर बढ़ता है। समरूपी अभिसरण अभिसरण का एक विशेष प्रकार है जो यह सुनिश्चित करता है कि कार्यों का अनुक्रम इसके पूरे डोमेन में एक सीमा कार्य तक समरूपता से अभिसरित होता है।
मूल परिभाषाएं
समरूपी अभिसरण को समझने के लिए, हमें पहले कुछ मूलभूत अवधारणाओं को समझने की आवश्यकता है जो कार्यों के अनुक्रमों से संबंधित हैं। आइए इस बात की परिभाषा दें कि हम बिंदुवत अभिसरण से क्या मतलब रखते हैं, जो समरूपी अभिसरण की ओर अग्रसर होने वाली एक मूलभूत धारणा है।
बिंदुवत अभिसरण
कार्य {f_n} का एक अनुक्रम लें। हम कहते हैं कि यह अनुक्रम डोमेन D पर एक कार्य f के लिए बिंदुवत अभिसरित होता है यदि, D में प्रत्येक x के लिए, वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम {f_n(x)} f(x) के लिए अभिसरित होता है। दूसरे शब्दों में, D में प्रत्येक x के लिए और किसी भी छोटे epsilon > 0 के लिए, एक प्राकृतिक संख्या N मौजूद है ताकि सभी n geq N के लिए, निम्नलिखित होता है:
|f_n(x) - f(x)| < epsilonबिंदुवत अभिसरण प्रत्येक बिंदु x को संभावित रूप से एक अलग प्राकृतिक संख्या N की अनुमति प्रदान करता है
समरूपी अभिसरण
बिंदुवत अभिसरण के विपरीत, समरूपी अभिसरण मजबूत होता है क्योंकि यह मांग करता है कि प्राकृतिक संख्या N पूरे डोमेन D पर समान रूप से अभिसरित होती है। हम कहते हैं कि कार्यों का अनुक्रम {f_n} D पर f के लिए समान रूप से अभिसरित होता है यदि, हर epsilon > 0 के लिए, एक प्राकृतिक संख्या N मौजूद है ताकि सभी x in D और सभी n geq N के लिए:
|f_n(x) - f(x)| < epsilonयहाँ, महत्वपूर्ण अंतर यह है कि प्राकृतिक संख्या N x पर निर्भर नहीं करती है, जो डोमेन में अभिसरण को समान बनाती है।
दृश्य उदाहरण
बिंदुवत अभिसरण और समरूपी अभिसरण के बीच के अंतर को बेहतर तरीके से समझने के लिए आइए एक दृश्य उदाहरण देखें। f_n(x) = x^n के कार्य अनुक्रम को अंतराल [0, 1] पर विचार करें। हम यह जानने में रुचि रखते हैं कि क्या अनुक्रम समान रूप से अभिसरित होता है।
इस चित्रण में, प्रत्येक वक्र एक अलग f_n(x) दर्शाता है जैसे n बढ़ता है। ध्यान दें कि किसी भी निश्चित x in (0, 1) के लिए, f_n(x) शून्य के करीब होता है जैसे n बढ़ता है। हालांकि, x = 1 के लिए, f_n(1) = 1 सभी n के लिए है।
इस प्रकार, f_n(x) to 0 और f_n(1) = 1 x in [0, 1) के लिए होते हैं हालांकि, यह अभिसरण समान नहीं है क्योंकि जैसे x 1 के करीब होता है, अभिसरण मानदंड को संतुष्ट कराना अधिक से अधिक बड़े N की आवश्यकता होती है
गणितीय शर्तें
समरूपी अभिसरण की जांच करने का एक तरीका यह है कि f_n(x) और f(x) के बीच के निरपेक्ष अंतर का परम मान देखें। विशेष रूप से, अनुक्रम {f_n} f के लिए समान रूप से अभिसरित होता है यदि:
lim_{n to infty} sup_{x in D} |f_n(x) - f(x)| = 0इसका अर्थ है कि पूरे डोमेन D पर f_n(x) और f(x) के बीच संभावित सबसे बड़ा अंतर n के बढ़ते ही मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है।
उदाहरण: समरूपी अभिसरण सत्यापन
समरूपी अभिसरण के लिए जाँचें पर ध्यान देने की अनिवार्यता है।
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