Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Teste de Séries


Em matemática, especialmente em análise real, o estudo de sequências e séries é uma pedra angular fundamental. Uma série pode ser vista como a soma de uma sequência de números. No entanto, ao contrário das somas finitas, as séries contêm, possivelmente, números infinitos. Avaliar uma série envolve determinar se a soma converge para um valor finito. Este estudo da convergência de séries é feito por meio de vários testes de séries.

Séries de compreensão

Uma série é definida como a soma dos termos de uma sequência. Se tivermos uma sequência de números a_1, a_2, a_3, ldots então a série correspondente é

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ldots + a_n

À medida que n se torna muito grande. Diz-se que a série é convergente se a sequência de somas parciais S_n se aproximar de um limite finito à medida que n tende ao infinito.

Por exemplo, considere a série formada pela sequência 1, 1/2, 1/4, 1/8, ldots. A soma parcial enésima é:

S_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + ldots + frac{1}{2^{n-1}}

Como exemplo visual:

Esta série pode ser reconhecida como uma série geométrica e converge para 2.

Teste de Séries

Para determinar a convergência ou divergência de uma série, são usados diversos testes. Testes comuns e amplamente utilizados na análise real incluem:

Teste do enésimo termo

O teste do enésimo termo envolve analisar o limite do enésimo termo da série. Se lim (a_n) != 0, então a série sum a_n diverge. Embora este teste seja bastante fácil de aplicar, não é conclusivo para séries convergentes.

Exemplo:

a_n = n

Aqui, lim (a_n) = ∞, e assim, a série sum n diverge.

Teste da série geométrica

A série geométrica é uma série da forma

a + ar + ar^2 + ar^3 + ldots

A série converge apenas quando o valor absoluto da razão comum r é menor que 1. Especificamente, a soma da série é a / (1 - r) quando |r| < 1.

Exemplo:

1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + ldots

Esta série tem a = 1 e r = 1/2. Como |r| < 1, a série converge e a soma é 1 / (1 - 1/2) = 2.

Teste da Série P

O formato da Série P é o seguinte

sum frac{1}{n^p}

Se p > 1 então converge e se p <= 1 então diverge.

Exemplo:

  1. p = 2 :

    sum frac{1}{n^2}
    Converge.

  2. p = 1 :

    sum frac{1}{n}
    Diverge (conhecida como série harmônica).

Teste do quociente

O teste do quociente examina o comportamento dos quocientes de termos consecutivos. Dada uma série sum a_n, calcula-se

L = lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right|

O teste diz:

  • Se L < 1, então a série converge absolutamente.
  • Se L > 1 ou L é infinito, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Exemplo:

a_n = frac{1}{n!}

Aqui, L = lim_{n to infty} left(frac{1}{(n+1)!} / frac{1}{n!}right) = lim_{n to infty} frac{1}{n+1} = 0. Como L < 1, a série sum frac{1}{n!} converge absolutamente.

Teste da raiz

Conhecido também como teste da raiz de Cauchy, testa o limite:

L = lim_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}

O teste básico segue as mesmas regras:

  • Se L < 1, então a série converge absolutamente.
  • Se L > 1 ou L é infinito, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Teste integral

Para uma série sum a_n onde a_n = f(n) para alguma função positiva, decrescente e contínua f em [1, infty), o teste integral pode ser aplicado.

Este teste determina a convergência comparando a série a uma integral imprópria

int_1^infty f(x), dx
  • Se int_1^infty f(x), dx converge, então a série converge.
  • Se int_1^infty f(x), dx diverge, então a série também diverge.

Exemplo:

sum frac{1}{n^2}

Usando integrais

int_1^infty frac{1}{x^2}, dx

Resolvendo int_1^infty frac{1}{x^2}, dx = 1, que converge, e a série também converge.

Teste das séries alternadas

Para séries alternadas da forma

sum (-1)^n b_n

Onde b_n é positivo, a série converge se:

  • A sequência b_n é monotonamente decrescente, ou seja, b_{n+1} <= b_n.
  • lim_{n to infty} b_n = 0

Teste da comparação de limites

Duas séries sum a_n e sum b_n são dadas com termos positivos, se

L = lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n}

e 0 < L < infty, então ambas as séries convergem ou ambas divergem.

Por exemplo, comparando sum frac{1}{n^2} com sum frac{1}{n^3}, sabe-se que sum frac{1}{n^3}, a série p com p = 3 > 1, converge. Calculando o limite:

L = lim_{n to infty} frac{1/n^2}{1/n^3} = lim_{n to infty} n = infty

Como L resulta em infty após a simplificação, este teste não é útil para encontrar a convergência.

Conclusão

Os testes de séries são ferramentas indispensáveis para analisar séries infinitas. Esses testes fornecem critérios para determinar se uma série dada exibe convergência, divergência ou se uma decisão requer análise adicional. Aplicando esses testes, pode-se examinar sistematicamente séries em vários domínios matemáticos, abrindo caminho para um entendimento analítico mais profundo. Compreender seu uso não vem apenas de conhecer suas definições, mas também de reconhecer sua aplicabilidade através de exemplos e exercícios.


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