シリーズテスト
数学、特に実解析において、数列と級数の研究は基本的な基礎です。級数は数列の合計と考えることができます。ただし、有限の和とは異なり、級数には無限の数を含むことがあります。級数を評価することは、和が有限の値に収束するかどうかを判断することを含みます。この級数の収束の研究は、さまざまな級数テストを通じて行われます。
理解シリーズ
級数は数列の項の合計として定義されます。数の数列 a_1, a_2, a_3, ldots があるとき、それに対応する級数は
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ldots + a_nとして定義され、大きくなるにつれて n の部分和の二重和が有限の限界に近づくとき、その級数は収束すると言われます。
たとえば、数列 1, 1/2, 1/4, 1/8, ldots によって形成される級数を考えてみましょう。n 番目の部分和は次のようになります：
S_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + ldots + frac{1}{2^{n-1}}視覚の例として：
この級数は幾何級数として認識され、2 に収束します。
シリーズテスト
シリーズの収束または発散を決定するために、多数のテストが通常使用されます。実解析で一般的で広く使用されるテストには以下のものがあります：
n項テスト
n項テストは、シリーズのn項のリミットを分析することが含まれます。もし lim (a_n) != 0 ならば、級数 sum a_n は発散します。このテストは非常に適用が簡単ですが、収束する級数に関しては決定的ではありません。
例：
a_n = nここで、lim (a_n) = ∞ であるため、級数 sum n は発散します。
幾何級数テスト
幾何級数は次の形式の級数です：
a + ar + ar^2 + ar^3 + ldotsこの級数は共通比 r の絶対値が 1 未満である場合にのみ収束します。特に、級数の和は a / (1 - r) であり、|r| < 1 のときです。
例：
1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + ldotsこの級数は a = 1 かつ r = 1/2 を持っています。 因って |r| < 1 であるため、級数は収束し、その和は 1 / (1 - 1/2) = 2 です。
P-シリーズテスト
P-シリーズの形式は以下の通りです：
sum frac{1}{n^p}もし p > 1 なら収束し、p <= 1 なら発散します。
例：
-
p = 2：
それは収束します。sum frac{1}{n^2} -
p = 1：
発散（調和級数として知られる）。sum frac{1}{n}
比率テスト
比率テストは連続項の比率の動作を調べます。級数 sum a_n が与えられたとき、以下を計算します：
L = lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right|テストの主張：
- もし
L < 1ならば、級数は絶対収束します。 - もし
L > 1またはLが無限大ならば、級数は発散します。 - もし
L = 1ならば、テストは決定的ではありません。
例：
a_n = frac{1}{n!}ここで、 L = lim_{n to infty} left(frac{1}{(n+1)!} / frac{1}{n!}right) = lim_{n to infty} frac{1}{n+1} = 0 です。L < 1 であるため、級数 sum frac{1}{n!} は絶対収束します。
オリジナルテスト
コーシー根テストとも呼ばれ、それは次の極限をテストします：
L = lim_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}基本的なテストは次の規則に従います：
- もし
L < 1ならば、級数は絶対収束します。 - もし
L > 1またはLが無限大ならば、級数は発散します。 - もし
L = 1ならば、テストは決定的ではありません。
積分テスト
ある級数 sum a_n に対して、a_n = f(n) が正の減少連続関数 f である場合、積分テストを適用できます。
このテストは、不定積分と比較して級数の収束を決定します：
int_1^infty f(x), dx- もし
int_1^infty f(x), dxが収束するならば、級数も収束します。 - もし
int_1^infty f(x), dxが発散するならば、級数も発散します。
例：
sum frac{1}{n^2}積分を使って：
int_1^infty frac{1}{x^2}, dx解くと int_1^infty frac{1}{x^2}, dx = 1 が収束し、この級数も収束します。
交互級数テスト
次の形式の交互級数に対して：
sum (-1)^n b_nb_n が正である場合、級数は次の条件を満たすと収束します：
b_nは単調減少、すなわちb_{n+1} <= b_nです。lim_{n to infty} b_n = 0
リミット比較テスト
正の項を持つ二つの級数 sum a_n と sum b_n が与えられたとき
L = lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n}そして 0 < L < infty である場合、両方の級数が収束または発散します。
例えば、sum frac{1}{n^2} を sum frac{1}{n^3} と比較するとき、sum frac{1}{n^3} は p = 3 > 1 のスーパーシリーズとして知られており、収束します。極限を計算します：
L = lim_{n to infty} frac{1/n^2}{1/n^3} = lim_{n to infty} n = infty簡略化の後、L が infty になったため、このテストは収束を見つけるのに役立ちません。
結論
シリーズテストは無限級数を分析するために不可欠なツールです。これらのテストは、与えられた級数が収束、発散、またはさらなる分析を要するかを判断する基準を提供します。これらのテストを適用することにより、数式のさまざまな分野で体系的に級数を分析することができ、深い分析的な洞察への道が開かれます。使用法を理解するには、それらの定義を知るだけでなく、例や練習を通じてそれらの適用性を認識することも重要です。
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