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श्रृंखला परीक्षण
गणित में, विशेष रूप से वास्तविक विश्लेषण में, अनुक्रम और श्रृंखला का अध्ययन एक बुनियादी कोना है। एक श्रृंखला को संख्याओं के अनुक्रम के योग के रूप में सोचा जा सकता है। हालांकि, सीमित योग के विपरीत, श्रृंखलाओं में संभवतः अनंत संख्याएं होती हैं। श्रृंखला का मूल्यांकन करना यह निर्धारित करने में शामिल होता है कि योग एक सीमित मान में परिवर्तित होता है या नहीं। श्रृंखला परिवर्तनशीलता का यह अध्ययन विभिन्न श्रृंखला परीक्षणों के माध्यम से किया जाता है।
समझ श्रृंखला
एक श्रृंखला को अनुक्रम की शर्तों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि हमारे पास संख्याओं का अनुक्रम a_1, a_2, a_3, ldots है, तो संबंधित श्रृंखला होती है
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ldots + a_nजैसे ही n बहुत बड़ा हो जाता है। श्रृंखला को संयमशील कहा जाता है यदि आंशिक यौगिक S_n का अनुक्रम n अनंतता में जाते समय एक सीमित सीमा पर पहुँचता है।
उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 1/2, 1/4, 1/8, ldots द्वारा गठित श्रृंखला पर विचार करें। एनथा आंशिक योग है:
S_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + ldots + frac{1}{2^{n-1}}एक दृश्य उदाहरण के रूप में:
यह श्रृंखला एक ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में पहचानी जा सकती है, और यह 2 में परिवर्तित हो जाती है।
श्रृंखला परीक्षण
श्रृंखला के संयमशीलता या विचलन का निर्धारण करने के लिए, आमतौर पर कई परीक्षणों का उपयोग किया जाता है। वास्तविक विश्लेषण में आम और व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले परीक्षणों में शामिल हैं:
n-शब्द परीक्षण
nवां-शब्द परीक्षण श्रृंखला के nवां-शब्द की सीमा का विश्लेषण करने के बारे में होता है। यदि lim (a_n) ne 0, तो श्रृंखला sum a_n विचलित हो जाती है। हालांकि यह परीक्षण लागू करने में काफी आसान है, यह संयमशील श्रृंखलाओं के लिए निर्णयात्मक नहीं है।
उदाहरण:
a_n = nयहां, lim (a_n) = ∞, और इस प्रकार, श्रृंखला sum n विचलित हो जाती है।
ज्यामितीय श्रृंखला परीक्षण
ज्यामितीय श्रृंखला निम्नलिखित रूप की श्रृंखला होती है
a + ar + ar^2 + ar^3 + ldotsश्रृंखला केवल तभी संयमशील होती है जब साधारण अनुपात r का पूर्ण मान 1 से कम हो। विशेष रूप से, श्रृंखला का योग a / (1 - r) होता है जब |r| < 1।
उदाहरण:
1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + ldotsइस श्रृंखला में a = 1 और r = 1/2 है। क्योंकि |r| < 1, श्रृंखला संयमशील होती है, और इसका योग 1 / (1 - 1/2) = 2 होता है।
पी-श्रृंखला परीक्षण
पी-श्रृंखला का प्रारूप इस प्रकार है
sum frac{1}{n^p}यदि p > 1 है तो यह संयमशील होगी और यदि p le 1 है तो यह विचलित हो जाएगी।
उदाहरण:
-
p = 2:
यह संयमशील है।sum frac{1}{n^2} -
p = 1:
विचलन (जिसे हार्मोनिक श्रृंखला के रूप में जाना जाता है)।sum frac{1}{n}
अंश परीक्षण
अंश परीक्षण क्रमागत शर्तों के अनुपात के व्यवहार की जांच करता है। दी गई श्रृंखला sum a_n, निम्नलिखित की गणना करें
L = lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right|परीक्षण कहता है:
- यदि
L < 1, तो श्रृंखला पूर्ण रूप से संयमशील होती है। - यदि
L > 1याLअनंत है, तो श्रृंखला विचलित होती है। - यदि
L = 1, परीक्षण निर्णयात्मक नहीं होता है।
उदाहरण:
a_n = frac{1}{n!}यहां, L = lim_{n to infty} left(frac{1}{(n+1)!} / frac{1}{n!}right) = lim_{n to infty} frac{1}{n+1} = 0। क्योंकि L < 1, श्रृंखला sum frac{1}{n!} पूर्ण रूप से संयमशील होती है।
मूल परीक्षण
जिसे कोसी मूल परीक्षण के रूप में भी जाना जाता है, यह सीमा की जांच करता है:
L = lim_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}मूल परीक्षण समान नियमों का पालन करते हैं:
- यदि
L < 1, तो श्रृंखला पूर्ण रूप से संयमशील होती है। - यदि
L > 1याLअनंत है, तो श्रृंखला विचलित होती है। - यदि
L = 1, परीक्षण निर्णयात्मक नहीं होता है।
समाकल परीक्षण
एक श्रृंखला sum a_n के लिए जहां a_n = f(n) किसी सकारात्मक, घटते और सतत कार्य f पर [1, infty) के लिए, समाकल परीक्षण लागू किया जा सकता है।
यह परीक्षण श्रृंखला के संयमशीलता का निर्धारण एक अपूर्ण समाकल के साथ तुलना करके करता है
int_1^infty f(x), dx- यदि
int_1^infty f(x), dxसंयमशील है, तो श्रृंखला संयमशील होती है। - यदि
int_1^infty f(x), dxविचलित होता है, तो श्रृंखला भी विचलित होती है।
उदाहरण:
sum frac{1}{n^2}समाकल उपयोग करना
int_1^infty frac{1}{x^2}, dxसमाधान int_1^infty frac{1}{x^2}, dx = 1, जो संयमशील है, और श्रृंखला भी संयमशील होती है।
पारी बदलती श्रृंखला परीक्षण
पारी बदलने वाली श्रृंखलाओं के लिए जो रूप होती है
sum (-1)^n b_nजहां b_n सकारात्मक है, श्रृंखला संयमशील होती है अगर:
- श्रृंखला
b_nघटती रहती है, जिसका अर्थ हैb_{n+1} le b_n. lim_{n to infty} b_n = 0
सीमा तुलना परीक्षण
दो श्रृंखलाएं sum a_n और sum b_n दी गई हैं जिनकी शर्तें सकारात्मक हैं, यदि
L = lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n}और 0 < L < infty, तो दोनों श्रृंखलाएं संयमशील या दोनों विचलित होंगी।
उदाहरण के लिए, sum frac{1}{n^2} की तुलना sum frac{1}{n^3} से करना, यह ज्ञात है कि sum frac{1}{n^3}, p-श्रृंखला के साथ p = 3 > 1, संयमशील होती है। सीमा की गणना करते हुए:
L = lim_{n to infty} frac{1/n^2}{1/n^3} = lim_{n to infty} n = inftyचूंकि L सरलीकरण के बाद infty के रूप में उभरता है, यह परीक्षण संयमशीलता खोजने में उपयोगी नहीं है।
निष्कर्ष
श्रृंखला परीक्षण अनंत श्रृंखलाओं का विश्लेषण करने के लिए अनिवार्य उपकरण हैं। ये परीक्षण इस बात के मापदंड प्रदान करते हैं कि दी गई श्रृंखला संयमशीलता, विचलन या निर्णय के लिए अतिरिक्त विश्लेषण की आवश्यकता नहीं होती है। इन परीक्षणों को लागू करके, कोई विभिन्न गणितीय क्षेत्रों में श्रृंखलाओं का व्यवस्थित रूप से अध्ययन कर सकता है, जिससे गहराई से विश्लेषणात्मक अंतर्दृष्टि का मार्ग प्रशस्त होता है। उनके उपयोग को समझना न केवल उनके परिभाषाओं को जानने से आता है, बल्कि उनके उदाहरणों और अभ्यासों के माध्यम से उनकी उपयोगिता को पहचानने से भी आता है।
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