Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Pruebas de series


En matemáticas, especialmente en análisis real, el estudio de secuencias y series es una piedra angular fundamental. Se puede pensar en una serie como la suma de una secuencia de números. Sin embargo, a diferencia de las sumas finitas, las series pueden contener un número posiblemente infinito de términos. Evaluar una serie implica determinar si la suma converge a un valor finito. Este estudio de la convergencia de series se realiza a través de varias pruebas de series.

Serie de comprensión

Una serie se define como la suma de los términos de una secuencia. Si tenemos una secuencia de números a_1, a_2, a_3, ldots entonces la serie correspondiente es

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ldots + a_n

A medida que n se hace muy grande. Se dice que la serie es convergente si la secuencia de sumas parciales S_n se acerca a un límite finito al ir n hacia el infinito.

Por ejemplo, considera la serie formada por la secuencia 1, 1/2, 1/4, 1/8, ldots. La suma parcial enésima es:

S_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + ldots + frac{1}{2^{n-1}}

Como ejemplo visual:

Esta serie se puede reconocer como una serie geométrica, y converge a 2.

Pruebas de series

Para determinar la convergencia o divergencia de una serie, se utilizan típicamente una serie de pruebas. Las pruebas comunes y ampliamente utilizadas en análisis real incluyen:

Prueba del término enésimo

La prueba del término enésimo implica analizar el límite del término enésimo de la serie. Si lim (a_n) ≠ 0, entonces la serie sum a_n diverge. Aunque esta prueba es bastante fácil de aplicar, no es concluyente para series convergentes.

Ejemplo:

a_n = n

Aquí, lim (a_n) = ∞, y por lo tanto, la serie sum n diverge.

Prueba de la serie geométrica

La serie geométrica es una serie de la forma

a + ar + ar^2 + ar^3 + ldots

La serie converge solo cuando el valor absoluto de la razón común r es menor que 1. Específicamente, la suma de la serie es a / (1 - r) cuando |r| < 1.

Ejemplo:

1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + ldots

Esta serie tiene a = 1 y r = 1/2. Dado que |r| < 1, la serie converge, y su suma es 1 / (1 - 1/2) = 2.

Prueba de series p

El formato de la serie p es el siguiente

sum frac{1}{n^p}

Si p > 1 entonces converge y si p <= 1 entonces diverge.

Ejemplo:

  1. p = 2 :

    sum frac{1}{n^2}
    Converge.

  2. p = 1 :

    sum frac{1}{n}
    divergencia (conocida como la serie armónica).

Prueba del cociente

La prueba del cociente examina el comportamiento de las razones de términos consecutivos. Dada una serie sum a_n, calcula

L = lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right|

La prueba dice:

  • Si L < 1, entonces la serie converge absolutamente.
  • Si L > 1 o L es infinito, la serie diverge.
  • Si L = 1, la prueba es inconclusa.

Ejemplo:

a_n = frac{1}{n!}

Aquí, L = lim_{n to infty} left(frac{1}{(n+1)!} / frac{1}{n!}right) = lim_{n to infty} frac{1}{n+1} = 0. Dado que L < 1, la serie sum frac{1}{n!} converge absolutamente.

Prueba original

También conocida como la prueba de la raíz de Cauchy, prueba el límite:

L = lim_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}

La prueba básica sigue las mismas reglas:

  • Si L < 1, entonces la serie converge absolutamente.
  • Si L > 1 o L es infinito, la serie diverge.
  • Si L = 1, la prueba es inconclusa.

Prueba integral

Para una serie sum a_n donde a_n = f(n) para alguna función f positiva, decreciente y continua en [1, infty), se puede aplicar la prueba integral.

Esta prueba determina la convergencia comparando la serie con una integral impropia

int_1^infty f(x), dx
  • Si int_1^infty f(x), dx converge, entonces la serie converge.
  • Si int_1^infty f(x), dx diverge, entonces la serie también diverge.

Ejemplo:

sum frac{1}{n^2}

Usando integrales

int_1^infty frac{1}{x^2}, dx

Resolviendo int_1^infty frac{1}{x^2}, dx = 1, que converge, y la serie también converge.

Prueba de series alternadas

Para series alternadas de la forma

sum (-1)^n b_n

Donde b_n es positivo, la serie converge si:

  • La secuencia b_n es monótona decreciente, es decir, b_{n+1} <= b_n.
  • lim_{n to infty} b_n = 0

Prueba de comparación por el límite

Se dan dos series sum a_n y sum b_n con términos positivos, si

L = lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n}

y 0 < L < infty, entonces ambas series convergerán o ambas divergerán.

Por ejemplo, comparando sum frac{1}{n^2} con sum frac{1}{n^3}, se sabe que sum frac{1}{n^3}, la serie p con p = 3 > 1, converge. Calculando el límite:

L = lim_{n to infty} frac{1/n^2}{1/n^3} = lim_{n to infty} n = infty

Como L resulta ser infty después de simplificación, esta prueba no es útil para encontrar la convergencia.

Conclusión

Las pruebas de series son herramientas indispensables para analizar series infinitas. Estas pruebas proporcionan criterios para determinar si una serie dada exhibe convergencia, divergencia, o si una decisión requiere un análisis adicional. Aplicando estas pruebas, se puede examinar sistemáticamente series en varios dominios matemáticos, allanando el camino para profundizar en los conocimientos analíticos. Comprender su uso proviene no solo de conocer sus definiciones, sino también de reconocer su aplicabilidad a través de ejemplos y ejercicios.


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