Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Ecuaciones diferenciales


Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que involucra funciones y sus derivadas. Estas ecuaciones son importantes para expresar varios fenómenos naturales en ciencia e ingeniería, como la física, la química, la biología y la economía.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales consisten en una función desconocida y su derivada. Por ejemplo, la función puede describir algún fenómeno físico como el movimiento, el calor o el crecimiento bacteriano, y su derivada puede describir la tasa de cambio de estos fenómenos.

Ejemplo básico

Considera la sencilla ecuación diferencial:

dy/dx = 3x

En esta ecuación, dy/dx representa la derivada de y con respecto a x, y es igual a 3x. El objetivo es encontrar una función y que satisfaga esta ecuación.

Tipos de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar en varios tipos:

  • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODE): Estas son ecuaciones con una variable independiente. Por ejemplo: 
    dy/dx + y = x
  • Ecuaciones Diferenciales Parciales (PDE): Estas tienen más de una variable independiente. Por ejemplo: 
    ∂u/∂t = ∂²u/∂x²

Órdenes y grados

El orden de una ecuación diferencial es el orden más alto de las derivadas presentes en la ecuación. El grado es la potencia de la derivada más alta, siempre que la ecuación sea un polinomio en sus derivadas.

Por ejemplo, en la ecuación diferencial:

d²y/dx² + 3(dy/dx)² = y

El orden es 2 (ya que la derivada más alta es d²y/dx²), y el grado es 1 (tratándolo como un polinomio en derivadas).

Soluciones de ecuaciones diferenciales

La solución de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación cuando se sustituye en ella. Exploremos varios métodos para resolver varias ecuaciones diferenciales.

Ecuación separable

La ecuación separable se puede expresar como el producto de dos funciones: una que involucra solo x y otra que involucra solo y.

dy/dx = g(x)h(y)

Para resolverla, aísla las variables:

dy/h(y) = g(x) dx

Luego integra ambos lados.

Ejemplo

Considera:

dy/dx = xy

Reorganiza para aislar las variables:

dy/y = x dx

Integra ambos lados:

∫(1/y) dy = ∫x dx

La solución es esta:

ln|y| = (1/2)x² + C

donde C es la constante de integración.

Primera ecuación diferencial lineal de primer orden

La forma general de una ecuación diferencial lineal de primer orden es:

dy/dx + P(x)y = Q(x)

Para resolverla, encuentra el factor integrante μ(x) que se define como:

μ(x) = e^(∫P(x) dx)

Multiplica toda la ecuación por μ(x) para que el lado izquierdo sea la derivada del producto μ(x)y.

Ejemplo

Considera la ecuación:

dy/dx + 2y = x

Aquí, P(x) = 2 es el factor integrante:

μ(x) = e^(∫2 dx) = e^(2x)

Multiplica por e^(2x):

e^(2x) dy/dx + 2e^(2x) y = xe^(2x)

Observa que el lado izquierdo es la derivada de e^(2x)y. Resuelve integrando ambos lados:

d/dx (e^(2x)y) = xe^(2x)

Aplicación de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar problemas del mundo real.

Crecimiento poblacional

Un modelo simple de crecimiento poblacional, en el cual la tasa de cambio en la población es proporcional a la propia población, se da de la siguiente manera:

dp/dt = kp

Donde p es la población, y k es la constante de proporcionalidad. Esto puede resolverse por separación de variables como sigue:

dp/p = k dt

La solución es esta:

p(t) = p₀e^(kt)

donde p₀ es la población inicial en t = 0.

Ley de enfriamiento de Newton

Esta ley establece que la tasa de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del entorno. Se describe mediante la ecuación diferencial:

dT/dt = -k(T - Tₐ)

donde T es la temperatura del objeto, Tₐ es la temperatura del entorno, y k es una constante positiva. La solución es:

T(t) = Tₐ + (T₀ - Tₐ)e^(-kt)

Dónde T₀ es la temperatura inicial del objeto.

Conclusión

Las ecuaciones diferenciales son un área vasta e importante de las matemáticas con muchas aplicaciones. Nos ayudan a modelar, resolver y entender varios fenómenos en nuestra vida diaria y exploraciones científicas. Esta introducción cubre algunos de los conceptos básicos, tipos, soluciones y ejemplos de ecuaciones diferenciales ampliamente utilizadas en estudios de pregrado.


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