Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario → Ecuaciones diferenciales ↓


Ecuaciones diferenciales parciales


Las ecuaciones diferenciales parciales, a menudo abreviadas como EDP, son ecuaciones diferenciales que involucran varias variables independientes y sus derivadas parciales. Son fundamentales en el modelado matemático de una variedad de sistemas físicos, incluidos aquellos que describen fenómenos como el comportamiento del calor, el sonido, el flujo de fluidos y los campos electromagnéticos.

Comprensión de los conceptos básicos

En el núcleo de las ecuaciones diferenciales parciales está el concepto de "derivada parcial". La derivada parcial es similar a una derivada ordinaria, pero trata todas las variables como constantes excepto una. Veamos una función simple:

f(x, y) = x^2 + y^2

En esta función, hay dos variables x y y. Al calcular la derivada parcial con respecto a una variable, digamos x, consideramos y como una constante.

∂f/∂x = 2x

De manera similar, la derivada parcial de la función f con respecto a y es:

∂f/∂y = 2y

Clasificación de las EDP

Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden clasificar en varios tipos según diversos criterios como linealidad, orden y grado. Los tipos más comunes de EDP que se encuentran en estudios universitarios son:

1. Orden de la EDP

El orden de la EDP se determina por el orden más alto de la derivada parcial presente en la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación:

∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0

El orden más alto de la derivada es 2. Por lo tanto, esta es una EDP de segundo orden.

2. Linealidad de la EDP

Una EDP se llama lineal si todos los términos que relacionan la variable dependiente y sus derivadas son lineales. Considere la ecuación:

a(x, y) ∂u/∂x + b(x, y) ∂u/∂y = c(x, y)

Esta es una EDP lineal porque la variable dependiente u y sus derivadas aparecen en forma lineal.

Si alguno de los términos es no lineal entonces la EDP es no lineal. Por ejemplo:

(∂u/∂x)^2 = u * ∂u/∂y

Esta es una EDP no lineal debido a los términos de derivadas al cuadrado y productos.

Ejemplos de EDP generales

Veamos algunos tipos tradicionales de ecuaciones diferenciales parciales que se encuentran frecuentemente en aplicaciones.

Ecuación del calor

La ecuación del calor modela la distribución del calor (o variación de temperatura) a lo largo del tiempo en una región dada. La forma unidimensional de la ecuación del calor es:

∂u/∂t = α ∂^2u/∂x^2

Aquí, u(x, t) es la temperatura en la posición x y tiempo t, y α es una constante conocida como la difusividad térmica.

Ecuación de onda

La ecuación de onda es importante en campos como la acústica, los electromagnetismos y la dinámica de fluidos. Describe el comportamiento de las ondas en el espacio y el tiempo. En una dimensión, se puede escribir como:

∂^2u/∂t^2 = c^2 ∂^2u/∂x^2

Aquí, c es la velocidad de la onda, y u(x, t) representa el desplazamiento de la onda en el punto x y tiempo t.

Ecuación de Laplace

La ecuación de Laplace es fundamental para la teoría potencial y se utiliza para describir la conducción de calor en estado estacionario, electrostática y flujo de fluidos incompresibles. Se da como:

∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0

Presenta un escenario en el cual no hay cambio a lo largo del tiempo; por lo tanto, solo involucra variables espaciales.

Técnicas de solución para E.D.P.

Resolver ecuaciones diferenciales parciales puede ser muy complicado, especialmente para EDP no lineales. Sin embargo, se han desarrollado muchos métodos para encontrar soluciones. Discutimos algunas técnicas importantes a continuación.

Separación de variables

Este es un método poderoso usado para reducir una EDP en una o más ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). La idea básica es asumir que la solución se puede escribir como un producto de funciones, cada una de las cuales depende de una única variable. Considere la ecuación:

∂u/∂t = k ∂^2u/∂x^2

Asumimos una solución de la forma u(x, t) = X(x)T(t) Sustituyendo esto en la EDP se obtiene:

X(x) dT/dt = k T(t) d^2X/dx^2

Dividir ambos lados por X(x)T(t) da dos diferentes EDO:

dT/dt = -λT, y d^2X/dx^2 = - (λ/k) X

El valor de λ está determinado por las condiciones marginales o restricciones.

Método de caracterización

Algunas EDP se pueden transformar en ecuaciones diferenciales ordinarias usando curvas características. Considere una EDP de primer orden como:

a(x, y) ∂u/∂x + b(x, y) ∂u/∂y = c(x, y)

Al resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dx/dt = a(x, y), dy/dt = b(x, y), du/dt = c(x, y)

Este método convierte la EDP en un conjunto de EDO con curvas características en el plano (x, y).

Ejemplos visuales de E.D.P.

Considere la convencional ecuación del calor:

∂u/∂t = α ∂^2u/∂x^2

Esta ecuación se puede visualizar de la siguiente manera:

fuente de calor

El círculo representa una región inicialmente caliente cuya distribución de temperatura cambia con el tiempo.

Aplicaciones de las EDP

Las aplicaciones de las EDP son muy amplias y se extienden a través de varios dominios. Algunas de estas aplicaciones son las siguientes:

1. Física e ingeniería

Las EDP son muy importantes en el modelado del mundo físico. La ecuación de onda modela la propagación de ondas como las ondas sonoras en el aire, las ondas de agua en el océano y las vibraciones en estructuras. La ecuación de calor modela la distribución de la temperatura en una región dada a lo largo del tiempo.

2. Economía

En finanzas, las EDP se utilizan para modelar la valoración de opciones, como la famosa ecuación de Black–Scholes, que ayuda a valorar opciones europeas.

3. Biología

Las EDP modelan procesos biológicos como la dinámica de poblaciones, donde ayudan a entender cómo cambia la densidad de población a lo largo del tiempo y el espacio.

Desafíos en la resolución de E.D.P.

Aunque hay muchas maneras de resolver EDP, estas ecuaciones pueden ser bastante desafiantes debido a su complejidad. Aquí hay algunas de las dificultades:

1. No linealidad

Las EDP no lineales pueden mostrar un comportamiento complejo, incluyendo dinámicas caóticas, haciéndolas difíciles de resolver analíticamente.

2. Condiciones de frontera e iniciales

Encontrar soluciones en EDP a menudo requiere condiciones de frontera e iniciales apropiadas, que a veces pueden ser difíciles de determinar o satisfacer.

3. Estabilidad numérica

Cuando las EDP se resuelven utilizando métodos numéricos, asegurar la estabilidad y precisión de la solución puede ser un desafío significativo.

Conclusión

Las ecuaciones diferenciales parciales son un aspecto esencial de las matemáticas que tiene profundas aplicaciones en una amplia variedad de campos. Aunque desafiantes, comprender su formulación, clasificación y técnicas de solución abre una forma de modelar y analizar las complejidades del mundo que nos rodea. Con los avances en el poder de cómputo, la capacidad para resolver numéricamente EDP complejas continuará mejorando, ampliando los horizontes para la investigación y las aplicaciones prácticas.


Universitario → 3.2


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (3.1.5)
Métodos numéricos para EDOs
Siguiente (3.2.1) →
Entendiendo la ecuación del calor

Comentarios 



Ecuaciones diferenciales parciales

https://www.buddymath.com/ug/3.2?bmal=es