Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Separação de variáveis


O método de separação de variáveis é uma técnica usada para resolver equações diferenciais parciais (PDEs). As PDEs podem descrever uma variedade de fenômenos, como fluxo de calor, propagação de ondas, dinâmica de fluidos e muito mais. Este método simplifica o processo dividindo a PDE em equações diferenciais ordinárias (ODEs) menores e mais gerenciáveis.

Introdução

Equações diferenciais parciais envolvem múltiplas variáveis independentes. O principal objetivo ao usar a técnica de separação de variáveis é reescrever a PDE de modo que cada variável independente apareça separadamente. Isso permite que a PDE seja decomposta em um conjunto de ODEs de variável única. A partir daí, dadas certas condições de contorno, as soluções para essas ODEs podem ser combinadas para formar a solução geral da PDE original.

Por que usar a separação de variáveis?

A separação de variáveis é particularmente útil ao lidar com PDEs lineares com condições de contorno. Permite que matemáticos e cientistas lidem com equações complexas de maneira sistemática. Este método também funciona bem quando a PDE e suas condições exibem simetria suficiente. Por exemplo, em casos de temperaturas de estado estacionário ou vibrações nas bordas, esta técnica pode determinar rapidamente as soluções, tornando-se uma ferramenta essencial na física matemática.

Passos básicos

  1. Suponha que a solução da PDE possa ser expressa como um produto de funções, cada uma das quais depende de uma única coordenada.
  2. Substitua esta forma na PDE original.
  3. Divida a equação resultante em partes, cada uma das quais depende apenas de uma única coordenada.
  4. Defina cada parte igual a uma constante (chamada de constante de dissociação).
  5. Resolva as ODEs resultantes.
  6. Use condições de limite para determinar constantes desconhecidas.
  7. Construa a solução completa somando a série infinita de soluções derivadas de cada constante de dissociação.

Um exemplo com representação visual

Considere a equação do calor em uma dimensão:

∂u/∂t = α² ∂²u/∂x²

Aqui, ( u(x, t) ) é a temperatura na posição ( x ) e tempo ( t ), e ( α ) é uma constante relacionada à difusividade térmica.

Para a separação de variáveis, assuma:

u(x, t) = X(x)T(t)

Substitua isso na equação do calor:

X(x) ∂T/∂t = α² T(t) ∂²X/∂x²

Divida os dois lados por ( α² X(x) T(t) ):

1/T(t) ∂T/∂t = α² / X(x) ∂²X/∂x²

O lado esquerdo depende apenas de ( t ) e o lado direito depende apenas de ( x ). Defina-os iguais à constante de dissociação, digamos ( -λ ):

1/T(t) ∂T/∂t = -λ = α² / X(x) ∂²X/∂x²

Isso resulta em duas ODEs:

  • Para ( T(t) ) : ( ∂T/∂t = -λT(t) )
  • Para ( X(x) ) : ( α² ∂²X/∂x² = -λX(x) )

Cada uma destas pode ser resolvida, sujeito a condições marginais, para produzir uma solução completa.

Exemplo de condição de limite: Se as extremidades da barra estão rigidamente mantidas a temperatura zero, então essas condições podem ser expressas como:

u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0 para todo t

A aplicação da separação de variáveis, ( X(0)T(t) = 0 ) implica ( X(0) = 0 ), e assim com ( X(L) = 0 ). Resolva:

X(x) = C sen(nπx/L)

Aqui, ( n ) é um inteiro (1, 2, 3, ...) e ( C ) é uma constante. Esta equação satisfaz as condições de limite.

Exemplo mais detalhado

Exemplo: equação da onda

Considere a equação da onda:

∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²

Assuma uma solução ( u(x, t) = X(x)T(t) ). Substituindo, obtemos:

X(x) ∂²T/∂t² = c² T(t) ∂²X/∂x²

Divida por ( c² X(x) T(t) ):

1/T(t) ∂²T/∂t² = 1/c² X(x) ∂²X/∂x² = -λ

As ODEs isoladas são as seguintes:

  • ( ∂²T/∂t² = -λT(t) )
  • ( c² ∂²X/∂x² = -λX(x) )

Ao lidar com essas ODEs de maneira diferente e aplicando condições de contorno, soluções para a equação de onda original podem ser encontradas. Este método mostra o poder da separação de variáveis para gerenciar equações complexas com muitas variáveis.

Exemplo: equação de Laplace

Considere a equação de Laplace, amplamente utilizada em eletromagnetismo e dinâmica de fluidos:

∇²u = 0

Em duas dimensões, é:

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Deixe ( u(x, y) = X(x)Y(y) ) e substitua:

Y(y) ∂²X/∂x² + X(x) ∂²Y/∂y² = 0

Variáveis Discretas:

1/X(x) ∂²X/∂x² = -1/Y(y) ∂²Y/∂y² = λ

As ODEs resultantes:

  • ( ∂²X/∂x² = λX(x) )
  • ( ∂²Y/∂y² = -λY(y) )

A solução, dadas condições de contorno específicas para o problema, permite a construção de uma solução completa para a equação de Laplace para a região de interesse.

Pensamentos finais

A separação de variáveis é um método poderoso e essencial para resolver PDEs, que é comumente visto em uma variedade de campos, como matemática, física e engenharia. Embora esta técnica tenha suas limitações, particularmente exigindo limites simples e linearidade, sua eficácia na decomposição de problemas complexos a torna uma ferramenta essencial. Este método é um exemplo de como dividir problemas em partes mais simples pode levar a soluções eficazes, assim como outras disciplinas têm estratégias modulares de resolução de problemas.

Ao compreender e usar a separação de variáveis, pode-se obter soluções práticas para problemas que modelam processos físicos importantes. O principal é reconhecer os padrões e simetrias inerentes a tais problemas que permitem o uso eficaz deste método.


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