Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario → Ecuaciones diferenciales → Ecuaciones diferenciales parciales ↓


Separación de variables


El método de separación de variables es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Las EDP pueden describir una variedad de fenómenos como el flujo de calor, la propagación de ondas, la dinámica de fluidos, y más. Este método simplifica el proceso dividiendo la EDP en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) más pequeñas y manejables.

Introducción

Las ecuaciones diferenciales parciales involucran múltiples variables independientes. El objetivo principal al usar la técnica de separación de variables es reescribir la EDP de manera que cada variable independiente aparezca por separado. Esto permite que la EDP se descomponga en un conjunto de EDOs de una sola variable. A partir de ahí, dadas ciertas condiciones de frontera, las soluciones a estas EDOs pueden combinarse para formar la solución total de la EDP original.

¿Por qué usar la separación de variables?

La separación de variables es particularmente útil cuando se trata con EDPs lineales con condiciones de frontera. Permite a matemáticos y científicos manejar ecuaciones complejas a través de un enfoque sistemático. Este método también funciona bien cuando la EDP y sus condiciones exhiben suficiente simetría. Por ejemplo, en casos de temperaturas en estado estacionario o vibraciones en los bordes, esta técnica puede determinar soluciones rápidamente, siendo un pilar en la física matemática.

Pasos básicos

  1. Suponga que la solución de la EDP se puede expresar como un producto de funciones, cada una de las cuales depende de una sola coordenada.
  2. Sustituya esta forma en la EDP original.
  3. Divida la ecuación resultante en partes, cada una de las cuales depende solo de una coordenada.
  4. Establezca cada parte igual a una constante (llamada la constante de disociación).
  5. Resuelva las EDOs resultantes.
  6. Use condiciones de límite para determinar constantes desconocidas.
  7. Construya la solución completa sumando la serie infinita de soluciones derivadas de cada constante de disociación.

Un ejemplo con representación visual

Considere la ecuación de calor en una dimensión:

∂u/∂t = α² ∂²u/∂x²

Aquí, ( u(x, t) ) es la temperatura en la posición ( x ) y tiempo ( t ), y ( α ) es una constante relacionada con la difusividad térmica.

Para la separación de variables asuma:

u(x, t) = X(x)T(t)

Sustituya esto en la ecuación de calor:

X(x) ∂T/∂t = α² T(t) ∂²X/∂x²

Divida ambos lados por ( α² X(x) T(t) ):

1/T(t) ∂T/∂t = α² / X(x) ∂²X/∂x²

El lado izquierdo depende solo de ( t ) y el derecho solo de ( x ). Establézcalos igual a la constante de disociación, digamos ( -λ ):

1/T(t) ∂T/∂t = -λ = α² / X(x) ∂²X/∂x²

Esto resulta en dos EDOs:

  • Para ( T(t) ) : ( ∂T/∂t = -λT(t) )
  • Para ( X(x) ) : ( α² ∂²X/∂x² = -λX(x) )

Cada una de estas puede ser resuelta, sujetas a condiciones marginales, para producir una solución completa.

Ejemplo de condición límite: Si los extremos de la barra se mantienen rígidamente a temperatura cero, entonces estas condiciones pueden expresarse como:

u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0 para todo t

Aplicando separación de variables, ( X(0)T(t) = 0 ) implica ( X(0) = 0 ), y de manera similar ( X(L) = 0 ). Resuelva:

X(x) = C sin(nπx/L)

Aquí, ( n ) es un entero (1, 2, 3, ...) y ( C ) es una constante. Esta ecuación satisface las condiciones de límite.

Ejemplo más detallado

Ejemplo: ecuación de onda

Considere la ecuación de onda:

∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²

Suponga una solución ( u(x, t) = X(x)T(t) ). Sustituyendo, obtenemos:

X(x) ∂²T/∂t² = c² T(t) ∂²X/∂x²

Divida por ( c² X(x) T(t) ):

1/T(t) ∂²T/∂t² = 1/c² X(x) ∂²X/∂x² = -λ

Las EDOs aisladas son las siguientes:

  • ( ∂²T/∂t² = -λT(t) )
  • ( c² ∂²X/∂x² = -λX(x) )

Al manejar estas EDOs de manera diferente y aplicar condiciones de frontera, se pueden encontrar soluciones a la ecuación de onda original. Este método muestra el poder de la separación de variables para manejar ecuaciones complejas con muchas variables.

Ejemplo: ecuación de Laplace

Considere la ecuación de Laplace, ampliamente utilizada en electromagnetismo y dinámica de fluidos:

∇²u = 0

En dos dimensiones, es:

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Deje ( u(x, y) = X(x)Y(y) ) y sustituya:

Y(y) ∂²X/∂x² + X(x) ∂²Y/∂y² = 0

Variables discretas:

1/X(x) ∂²X/∂x² = -1/Y(y) ∂²Y/∂y² = λ

Las EDOs resultantes:

  • ( ∂²X/∂x² = λX(x) )
  • ( ∂²Y/∂y² = -λY(y) )

La solución, dadas condiciones de contorno específicas para el problema, permite la construcción de una solución completa de la ecuación de Laplace para la región de interés.

Reflexiones finales

La separación de variables es un método poderoso e integral para resolver EDPs que se ve comúnmente en una variedad de campos como las matemáticas, la física y la ingeniería. Aunque esta técnica tiene sus limitaciones, particularmente requiriendo fronteras simples y linealidad, su efectividad en descomponer problemas complejos la convierte en una herramienta esencial. Este método es un ejemplo de cómo dividir problemas en partes más simples y componentes puede llevar a soluciones efectivas, así como otras disciplinas tienen estrategias modulares de resolución de problemas.

Al comprender y usar la separación de variables, uno puede obtener soluciones prácticas a problemas que modelan procesos físicos importantes. Lo principal es reconocer los patrones y simetrías inherentes en tales problemas que permiten el uso efectivo de este método.


Universitario → 3.2.4


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (3.2.3)
Ecuación de Laplace
Siguiente (3.2.5) →
Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales

Comentarios 



Separación de variables

https://www.buddymath.com/ug/3.2.4?bmal=es