Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Cálculos


Cálculo é um ramo da matemática que lida com taxas de variação e a acumulação de quantidades. É essencial para entender como os sistemas evoluem dinamicamente ao longo do tempo e é fundamental em áreas como ciência, engenharia, economia e além. O cálculo é dividido em cálculo diferencial e cálculo integral, cada um dos quais lida com diferentes tipos de problemas.

Cálculo diferencial

O cálculo diferencial foca no conceito de derivadas, que medem como uma função muda quando a entrada muda. Essencialmente, é o estudo de como as coisas mudam e é usado para encontrar a resposta à pergunta de quão rápido algo está acontecendo. Por exemplo, se você conhece a posição de um carro em um determinado momento, o cálculo diferencial pode ajudá-lo a encontrar sua velocidade ou aceleração.

Derivadas

A derivada de uma função em um ponto dado mede a taxa na qual o valor da função muda quando a entrada muda. Isso é como encontrar a inclinação de uma curva em um ponto particular.

Exemplo: Derivada de uma função linear

A função f(x) = 2x + 3 é linear. A derivada f'(x) é simplesmente a inclinação desta linha, que é 2.

Encontrando derivadas

Para encontrar a derivada de uma função, você pode usar várias regras, como a regra do poder, a regra de multiplicação e a regra do quociente. Aqui está um exemplo simples usando a regra do poder:

lei do poder:
Se f(x) = x^n, então f'(x) = n * x^(n-1).

Exemplo: Regra do poder

Encontre a derivada de f(x) = x^3.

Usando a regra do poder: f'(x) = 3 * x^(3-1) = 3x^2.

Exemplo visual: Derivada de uma função quadrática

inclinação = 0

Na visualização acima, a curva azul representa uma função quadrática. A linha tangente vermelha no topo da parábola mostra que a inclinação é zero, destacando o ponto da derivada.

Cálculo integral

O cálculo integral, por outro lado, lida com acumulações de quantidades e as áreas sob e entre curvas. É essencialmente o processo oposto da diferenciação. Enquanto as derivadas representam taxas de variação, os integrais fornecem uma maneira de calcular a acumulação total de uma quantidade.

Integrais

Integrais são uma ferramenta matemática usada para somar uma série de números que são grandes demais para somar convencionalmente. Ele fornece uma maneira conveniente de calcular áreas, volumes, pontos centrais e muitas outras coisas úteis.

Integrais definidos e indefinidos

Os integrais são classificados em dois tipos: definidos e indefinidos.

  • O integral indefinido representa uma família de funções e inclui uma constante de integração (C). Ele responde à pergunta "Qual é a função original?" para uma dada derivada.
  • Em contraste, o integral definido calcula a área líquida sob uma curva entre dois limites especificados de a a b.

Exemplo: Integral indefinido

Encontre o integral indefinido de f(x) = 2x.

A antiderivada desta função é F(x) = x^2 + C onde C é a constante de integração.

Exemplo visual: Integral definido como área

Área = Integral

A área sombreada na visão representa a área abaixo do gráfico de uma função de a a b e acima do eixo x. Essa área é encontrada calculando um integral definido de a a b.

Teorema fundamental do cálculo

O teorema fundamental do cálculo estabelece a relação entre diferenciação e integração, mostrando que eles são essencialmente processos inversos. É dividido em duas partes:

  • Parte 1: Isso nos diz que se integrarmos uma função e depois diferenciarmos esse integral, voltamos à função original.
  • Parte 2: Diz que o integral definido de uma função de a a b é igual à variação nos valores de suas antiderivadas nesses pontos.

Exemplo: Teorema fundamental do cálculo

Seja F(x) uma antiderivada de f(x) no intervalo [a, b], então o integral de f(x) de a a b é:

O integral de f(x) de a a b dx = F(b) - F(a)

Aplicações do cálculo

O cálculo é usado em uma variedade de campos para resolver problemas, prever resultados e entender sistemas dinâmicos. Aqui estão algumas aplicações:

Física

O cálculo é usado extensivamente na física para calcular quantidades como velocidade, aceleração e o caminho dos objetos. As relações entre essas quantidades muitas vezes são expressas como equações diferenciais que podem ser resolvidas usando cálculo.

Exemplo: Movimento ao longo de uma linha

A posição do carro é descrita pela função s(t) = 4t^3, onde s é a posição e t é o tempo. Para encontrar sua velocidade, diferenciamos a função de posição:

v(t) = ds/dt = d(4t^3)/dt = 12t^2

Economia

Economistas usam cálculo para modelar e prever cenários econômicos, otimizar funções para prever o comportamento dos fatores econômicos, calcular funções de custo e encontrar a elasticidade da oferta e da demanda.

Exemplo: Minimização de custo

Suponha que o custo total C(x) de produzir x bens seja dado por uma função quadrática:

c(x) = 50x + 0.5x^2

Para encontrar o nível de produção que minimize o custo, diferencie e localize os pontos críticos:

dc/dx = 50 + x
    
set dC/dx = 0 => 50 + x = 0 => x = -50

Neste contexto, ignore níveis de produção negativos indicando suposições de modelo incorretas ou foco em soluções viáveis.

Conclusão

O cálculo fornece as ferramentas e a linguagem para modelar mudanças. Seja descrevendo o movimento de objetos, prevendo tendências econômicas ou compreendendo fenômenos naturais, o cálculo é uma parte fundamental das ciências matemáticas que é usada em muitas aplicações globalmente.


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